Antwort mit KI erzeugt
Ein Turmspringer lässt sich von einem 10m-Turm fallen. Wer kommt schneller unten an?
Um zu bestimmen, wer schneller unten ankommt, betrachten wir zwei unterschiedliche Fälle des freien Falls. Da die Beschleunigung beide Male dieselbe ist (Erdbeschleunigung \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)), hängt es von der Anfangsgeschwindigkeit ab, wie sich die Fallzeit ändert.
Fall A: Turmspringer ohne Anfangsgeschwindigkeit
Die Zeit \(t_1\), die der Springer zum Fallen benötigt, ohne eine Anfangsgeschwindigkeit zu haben, lässt sich mit der Formel
\(
h = \frac{1}{2} g t_1^2
\)
berechnen, wobei \(h = 10 \, \text{m}\) die Fallhöhe ist.
Umstellen nach \(t_1\):
\(
t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}
\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
\(
t_1 = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \, \text{m}}{9,81\, \text{m/s}^2}} = \sqrt{\frac{20}{9,81}} = \sqrt{2,039} \approx 1,43 \, \text{s}
\)
Fall B: Turmspringer mit Anfangsgeschwindigkeit
Für den Turmspringer mit einer Anfangsgeschwindigkeit von \(v = 5 \, \text{m/s}\) wird die Zeit \(t_2\) durch die vollständige Bewegungsgleichung beschrieben:
\(
h = v t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2
\)
In diesem Fall verwandeln wir dies in eine quadratische Gleichung in der Form:
\(
\frac{1}{2} g t_2^2 + v t_2 - h = 0
\)
Mit \(a = \frac{1}{2}g\), \(b = v\), und \(c = -h\), können wir die quadratische Formel verwenden:
\(
t_2 = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\)
Einsetzen der Werte liefert:
\(
t_2 = \frac{-5 \, \text{m/s} \pm \sqrt{(5\, \text{m/s})^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 9,81\, \text{m/s}^2 \cdot (-10\, \text{m})}}{2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 9,81\, \text{m/s}^2}
\)
\(
t_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 196,2}}{9,81}
\)
\(
t_2 = \frac{-5 \pm \sqrt{221,2}}{9,81}
\)
\(
t_2 = \frac{-5 \pm 14,87}{9,81}
\)
Beim Lösen nehmen wir nur das positive Vorzeichen der Quadratwurzel, da eine negative Zeit keinen physikalischen Sinn ergibt:
\(
t_2 = \frac{-5 + 14,87}{9,81} \approx 1,004 \, \text{s}
\)
Antwort auf die Frage:
Der zweite Springer, der mit einer Anfangsgeschwindigkeit springt, erreicht den Boden schneller mit einer Zeit von ungefähr \(1,004 \, \text{s}\), verglichen mit dem ersten Springer ohne Anfangsgeschwindigkeit, der \(1,43 \, \text{s}\) benötigt.
Zeit bis nach unten:
-
Ohne Anfangsgeschwindigkeit: \(1,43 \, \text{s}\)
-
Mit Anfangsgeschwindigkeit: \(1,004 \, \text{s}\)
