Trägheitsmoment der Erde

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das Trägheitsmoment der Erde um eine Achse durch ihren Mittelpunkt! Nehmen Sie dazu an, dass die Dichte der Erde von außen $$\left( \rho _ { 1 } = 2750 \mathrm { kg } / \mathrm { m } ^ { 3 } \right)$$ nach innen $$\left( \rho _ { 2 } = 13800 \mathrm { kg } / \mathrm { m } ^ { 3 } \right)$$ linear ansteigt.
Hinweis: Das Trägheitsmoment einer dünnen Kugelschale mit Masse m und Radius r für eine Achse durch den Mittelpunkt ist $$I _ { \mathrm { KS } } = ( 2 / 3 ) \cdot m \cdot r ^ { 2 }$$ Erdradius: $$R _ { E } = 6370 \mathrm { km }$$

Problem/Ansatz:

Ich habe das (https://lp.uni-goettingen.de/get/text/2290) gefunden, jedoch habe ich nachgerechnet und das Resultat scheint dort nicht korrekt zu sein.. Würde mich über Tipps freuen.

Danke

Answer 1

Hallo

 da das Trägheitsmoment einer Kugelschale ja angegeben ist musst du nur m(r)dr ausrechnen und integrieren.

Gruß lul

Comments

Hallo lul 
wäre das in diesem Fall : 

m = p*V
m = p*4/3 * pi * r²

Das in die Trägheitsmoment der Kugelschale : 

8/9 * p * pi * r^(4)

Nun verstehe ich nicht wieso ich nach r aufleite ? Die Integralgrenzen sind doch von p₁ nach p₂  oder nicht ? und das ist doch das p  in der Formel ? 

Habe es mal so weiter versucht  wie du es meintest  :

Integral von p1 nach p2 :   8/9*p*pi*r^(4) dr  = [ 8/45 * pi * p *r^(5) ]^p2 _p1  

Eigentlich müsste man das ja in r einsetzen da r unsere Integrationsvariable ist aber r ist = 6370000 m  habe ich die Grenzen jeweils in p eingesetzt  :

8/45 * pi * 13800 kg/m³ * (6370000m)^(5) - 8/45 * pi * 2750 kg/m³ * (6370000m)^(5) = 
6.473 ×10^(37) kg m²

Liebe Grüße Kevin

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 4pi/3*r^2 ist sicher kein Volumen! du hast eine Kugelschale der Dicke dr und der Fläche 4*pi*r^2.

deshalb hab ich den Rest nicht angesehen

(überprüfe Formeln IMMER mit den Einheiten )

nenn den Radius der Erde R, r ist der von innen nach aussen wachsende Radius.

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Danke für deine Antwort dann hätte man also : 

Integral von 0 bis R_E : 2/3 * m(r) * 4*pi*r²*dr 


Masse der Erde in abhängigkeit von r : 

G: Gravitationskonstante 
g : Erdbeschleunigung

m(r) = g*R_E² / G  

Einsetzen in Trägheitsmoment : 

=> Integral von 0 bis R_E : 2/3 * g*(R_E)² / G * 4*pi*r²*dr 

<=>  2/3 * g * (R_E )²/G *4*pi  * Integral von 0 bis R_E r² dr

<=> 4.997 * 10^(25) kg * 8.616*10^(19) m³


Irgendwo muss hier jetzt noch ein Fehler sein da das Trägheitsmoment in kg*m² sein muss. Siehst du den Fehler oder ist es generell falsch ? 

Liebe Grüße Kevin

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Ist das nicht richtig so? Falls ja, wie fahre ich fort? Bin noch nicht so vertraut mit Integralrechnung in der Physik.

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irgendwas geht bei dir völlig schief. die Dichte der Erde ist in Abhängigkeit von r angegeben. die lineare Funktion musst du erst mal hinschreiben. dann ist m(r)=ρ(r)*V(r) wobei V das Volumen der Kugelschale ist, und das ist nicht 4pi/3(Re^3-r^3) denn das ist keine dünne Kugelschale.

Kevin davor hat die Masse völlig falsch, du das Volumen der Kugelschale.

berechne beide mal  die Dichte ρ(r) die bei r=0 13800kg/m3 bei r=6,37*10^6m  2750kg/m^3 ist  also .... ρ(r)= ρ(0)-0,001735kg/m^4*r (nachrechnen!)

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Hallo,

$$V = \frac { 4 } { 3 } \pi \left( R ^ { 3 } - r ^ { 3 } \right)$$ habe ich von hier https://de.wikipedia.org/wiki/Kugelschale . Sollte doch stimmen oder?

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p(r) = 13800 kg/m³ - (0.001735 kg/m^(4) * 6370000m) = 2748 kg / m³  was beinahe wieder p₁ ist aber ich verstehe gerade gar nichts mehr. Was soll ich denn damit nun machen ? Integrieren ? Wonach ? Und woher kriege ich nun d*r damit ich integrieren kann?

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@R3fleXi0n das ist zwar eine Kugelschale, aber sicher für fas alle r keine dünne, die ist für r=1km etwa 6369km dick, was sicher keine "dünne" Kugelschale ist, und für die deshalb das genannte Trägheitsmoment nicht stimmt.

@kevsch1 schreib erst mal  die Masse einer  dünnen Kugelschale im Abstand r von der Mitte hin, dabei heisst dünn; die Dicke ist ein kleines Δr, ich hab es gleich dr genannt. dann werden die Trägheitsmomente aller dieser Kugelschalen addiert, d,h, man integriert  eben über r.

es r ist bei mir immer der variable Radius, der von 0 bis Re=6,37*10^6 m geht. der steht auch in der Dichte, wenn man r=0 einsetzt muss die dichte in der Mitte rauskommen, wenn man r=Re einsetzt muss die Dichte aussen rauskommen. nochmal m(r)=V(r)*ρ(r)

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Hallo
hab das ganze hier mal gelesen da ich ebenfalls das Blatt mache und muss zugeben ich bin total raus mit dem ganzen.

Also wir sollen die Erde als dünne Kugelschale betrachten. An der äußersten Schicht der Erde hat man eine Dichte von p₁ und im inneren eine Dichte p₂.

Insgesamt hat man einen Radius von R_E aber den Radius der "kleinen" Kugel r kennen wir nicht.

Für das Trägheitsmoment einer dünnen Kugelschale gilt I_KS= 2/3 * m *r²
r fehlt uns wie gesagt und auch m fehlt uns.

Was genau  soll nun m(r) = V(r)*p(r) darstellen ? 

wäre V(r) nicht das Volumen der großen Kugel minus dem Volumen der kleinen Kugel ? 
Wäre das nicht exakt das was R3fleXi0n versucht hat ? 

Liebe Grüße Hans

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es geht um das Volumen einer DÜNNEN Kugelschale, die kann man natürlich durch die Differenz vom Volumen von 2 benachbarten Radien ausrechnen, wobei r2-r1 klein sein muss also 4pi/3*(r2^3-r1^3) mit r2-r1=Δr ,Δr sehr klein,  (r2^3-r1^3)=(r2-r1)*(r2^2+r1*r2+r1^2) die zweite Klammer ist ungefähr 3*r1^2 oder 3*r2^2 so dass da dann für kleine Δr steht :V(r)=4*pi/3*3r^2*Δr. das ist aber auch Oberfläche der Kugel mit r mal Dicke Δr. Die Masse ist dann m(r)=ρ(r)*V(r). ρ(r) hatte ich schon mal aufgeschrieben:ρ(r)= ρ(0)-0,001735kg/m4*r, damit hat man

m(r)=(ρ(0)-0,001735kg/m4*r)*4π*r^2*Δr

daraus jetzt I(r)=2/3*m(r)*r^2

jetzt müssen die Trägheitsmomente von all diesen Kugelschalen addiert werden, dazu könnte man die Erde in 1000 Schalen der Dicke Re/1000 zerlegen und alle addieren, oder man hat verstanden, dass wenn man Δr immer kleiner macht die Summe zum Integral wird, Δr zum symbolischen dr und wir rechnen Integral von 0 bis Re über  I(r) indem Δr durch dr ersetzt wird.

ich hoff, jetzt ist es endlich verständlich und ich kann gleich 2 Frager überzeugen.

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Hey, 
habe jetzt diesen Ansatz bekommen und das Integral ausgerechnet: 
Ergibt das Sinn oder habe ich irgendwo einen Fehler gemacht? Ich habe aus dem Integral die Dichte rausgezogen, da ich sonst nicht auf kgm^2 kommen würde.

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 du kannst etwas, das von r abhängt, wie die Dichte sicher nicht vor das Integral ziehen. Welches R willst du denn da einsetzen?

du hast auf die Weise das TM für die konstante Dichte  die so groß ist wie die in der Mitte eingesetzt, also einfach das TM einer Vollkugel dieser Dichte bestimmt.

Aber wenigstens ist jetzt dein erstes Integral richtig. (du hast vielleicht die Einheiten bei der Steigung von ρ nicht richtig gesehen? da stehen m^4 im Nenner?)

(bist du einer der 3 anderen oder Nr 4 in der Runde?

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Zunächst einmal vielen Dank an lul.

Worauf ich jedoch noch immer nicht komme ist : 

0,001735kg/m4*r

wie dieser Wert zustande kommt.


@NRW123

Also bei mir kam am Ende 8.066 * 10^(37) kg*m² raus.
ρ(r)= ρ(0)-0,001735kg/m^(4) *r

Das habe ich so eingesetzt wo du p(r) hast und wegen dem dicken Teil darfst du p(r) nicht einfach aus dem Integral rausziehen.
Bei mir wurden es danach 2 Integrale (Summenformel) und am Ende kam auch kg*m² raus

Auf 2,425 komme ich auch allerdings mit 10^(38) :/ 

ALso :

2,425 *10^(38) kg*m² - 1.618*10^(38) * kg*m² = 8.066*10^(37) kg*m²  ist mein Ergebnis

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Hallo an NRW

berechne doch einfach selbst die  Steigung der Geraden auf der rho von r*0 bis r=Re läuft. ich garantiere eh nicht für Zahlen!

aber da es ne Dichte ist muss ja insgesamt kg/m^3 stehen und da mal r muss da kg/m^4 stehen (ich hab ja durch die 6370km geteilt)

an Hansj

 wie wärs mal mit Danke für meine Geduld?

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Zunächst einmal vielen Dank an lul.

Das ist doch das erste was ich geschrieben habe ?

Ich meinte sowohl deine Hilfe als auch deine Geduld hättest du ja nicht amchen müssen ^^

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"amchen" ich auch nicht mehr

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Hallo lul 
ich verstehe gerade echt nicht was das Problem ist.
Es tut mir Leid wenn es ein Missverständnis gab.

Ich meinte sowohl deine Hilfe als auch deine Geduld hättest du ja nicht amchen müssen ^^

Was ich meinte war : Du hättest uns nicht helfen müssen aber hast es dennoch getan und dafür wollte ich mich bedanken.

Auch wenn ich nicht weiß was gerade los ist sage ich es dennoch du warst mir(nicht nur bei dieser Frage) und den anderen hier eine große Hilfe und dafür bedanke ich mich.

Liebe Grüße Hans

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Hallo zusammen ,

die Antworten sind echt hilfreich , damit ich weiter rechnen konnte . Hat jemand zufällig so schön alles aufgeschrieben ?

Würde mich darauf sehr freuen .

Danke

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Ein ganz großes Dankeschön auch von mir an lul !!!!