Antwort mit KI erzeugt
Berechnung der Expansionsarbeit des Gases bei konstantem externen Druck
Zuerst möchten wir die Expansionsarbeit (\(W\)) berechnen, die ein Gas bei Expansion unter einem konstanten externen Druck von 200 Torr leistet. Die Formel für die Arbeit bei konstantem Druck lautet:
\(W = -P_{\text{extern}} \Delta V\)
wo \(P_{\text{extern}}\) der externe Druck (in der Einheit Pascal) und \(\Delta V\) die Volumenänderung (in der Einheit Kubikmeter, m³) ist. Beachten Sie, dass die Arbeit negativ ist, wenn das System (Gas) Arbeit leistet, da Arbeit vom System an der Umgebung verrichtet wird.
Da die gegebenen Druck- und Volumeneinheiten nicht standardmäßig sind, wandeln wir sie um:
1 Torr = 133,322 Pa (Pascal),
1 dm³ = 0,001 m³.
Also,
\(P_{\text{extern}} = 200 \, \text{Torr} \times 133,322 \, \text{Pa/Torr} = 26\,664,4 \, \text{Pa}\)
\(\Delta V = V_{\text{end}} - V_{\text{start}} = 16,0 \, \text{dm}^3 - 12,7 \, \text{dm}^3 = 3,3 \, \text{dm}^3 = 3,3 \times 0,001 \, \text{m}^3 = 0,0033 \, \text{m}^3\)
Einsetzen dieser Werte in unsere Formel ergibt:
\(W = -26\,664,4 \, \text{Pa} \times 0,0033 \, \text{m}^3 = -87,992,52 \, \text{J}\)
Berechnung der Expansionsarbeit für reversible Expansion
Für die Berechnung der Arbeit bei einer reversiblen, isothermen Expansion eines idealen Gases verwenden wir die Formel:
\(W = -nRT \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)\)
Hier ist \(n\) die Stoffmenge des Gases in Molen, \(R\) die allgemeine Gaskonstante (\(8,314 \, \text{J mol}^{-1} \text{K}^{-1}\)), \(T\) die Temperatur in Kelvin und \(V_1\) bzw. \(V_2\) die Volumina vor bzw. nach der Expansion.
Zur Berechnung von \(n\) nutzen wir das molare Gewicht von Methan (CH\(_4\)), das 16,04 g/mol ist:
\(n = \frac{4,50 \, \text{g}}{16,04 \, \text{g/mol}} = 0,280548 \, \text{mol}\)
Die Temperatur \(T\) in Kelvin:
\(T = 37 \, \text{°C} + 273,15 = 310,15 \, \text{K}\)
Einsetzen dieser Werte in die Formel für \(W\) ergibt:
\(W = -0,280548 \, \text{mol} \times 8,314 \, \text{J mol}^{-1} \text{K}^{-1} \times 310,15 \, \text{K} \ln\left(\frac{16,0 \, \text{dm}^3}{12,7 \, \text{dm}^3}\right)\)
Zuerst berechnen wir den Logarithmus:
\(\ln\left(\frac{16,0}{12,7}\right) = \ln\left(1,25984\right) = 0,230674\)
Einsetzen in die Formel für \(W\):
\(W = -0,280548 \, \text{mol} \times 8,314 \, \text{J mol}^{-1} \text{K}^{-1} \times 310,15 \, \text{K} \times 0,230674 = -568,79 \, \text{J}\)
Zusammenfassend, die Expansionsarbeit des Gases bei einem konstanten externen Druck von 200 Torr beträgt \(-87,992,52 \, \text{J}\) und für den Fall einer reversiblen Expansion \(-568,79 \, \text{J}\).
