Ball wird senkrecht in die Luft geworfen.

Question

Aufgabe:

Wird ein Ball senkrecht in die Luft geworfen, so lässt sich die Hohe h (in m) gegenuber dem Boden mit der Formel \( h(t)=h_{0}+v_{0} t-5 t^{2} \) bestimmen. Hierbei ist \( h_{0} \) die Abwurfhöhe (in \( \left.m\right), v_{0} \) die Abwurfgeschwindigkeit (in \( \frac{m}{s} \) ) und \( t \) die Flugzeit (in s). Die Beschleunigung (in \( \frac{m}{s^2} \) ) hat in dieser Formel den Wert - 5.

Die momentane Änderungsrate \( h^{\prime}(t) \) entspricht der Geschwindigkeit \( v(t) \) (in \( \left.\frac{m}{s}\right) \) des Balles.

a) Erstellen Sie eine Formel für die Geschwindigkeit des Balles für die Abwurfhöhe 1,5 m und der Anfangsgeschwindigkeit \( 5 \frac{m}{s} \).

Welche Geschwindigkeit hat der Ball mit diesen Anfangswerten nach 2 Sekunden?

Nach welcher Zeit hat sich die Geschwindigkeit halbiert?

Nach welcher Zeit hat der Ball den höchsten Punkt erreicht?

b) Wie hoch muss die Abwurfgeschwindigkeit sein, damit der Ball bei einer Abwurfhöhe von \( 1,5 \mathrm{~m} \) eine maximale Höhe von 5 m erreicht?

c) Erstellen Sie eine allgemeine Formel für die Geschwindigkeit des Balles für eine beliebige Abwurfhöhe und eine beliebige Abwurfgeschwindigkeit.

Answer 1

a) h(t)=1,5+5t-5t^2

h'(t)= 5-10t = v(t)

1.Frage: v(2)=5 -10*2=-15(m/s)

2.Frage: (Ich denke hier ist gemeint, wann sich die Anfangsgeschwindigkeit halbiert hat (?)):

v(t)=2,5

2,5=5-10t

2,5=10t            I:10

0,25=t

→Nach 0,25 s hat sich die Anfangsgeschwindigkeit halbiert.

3.Frage:

v(t)=0

0=5-10t

→Nach 0,5 s hat der Ball seinen höchsten Punkt erreicht.

b) h(t)=1,5+v₀t-5t^2

h'(t)=v(t)=v₀-10t

v(t)=0

0=v₀-10t

t=v₀/10

→Einsetzen in h(t)

h(t)=1,5+v₀(v₀/10)-5(v₀/10)^2

h(t)= 5

5=1,5+v₀(v₀/10)-5(v₀/10)^2            I-1,5

3,5=0,1v₀^2-0,05v₀^2

3,5= 0,05v₀^2           I:0,05

v₀^2=70                     I√

v₀=8,3666

→bei einer Anfangsgeschwindigkeit von 8,3666 m/s erreicht der Ball eine maximale Höhe von 5m.

c) v(t)= v₀-10t^2

LG

Comments

warum muss man mit v(t)=0 weiter rechnen?

Zudem verstehe ich nicht, wie hier gelöst wurde:

5=1,5+v₀(v₀/10)-5(v₀/10)²            I-1,5

3,5=0,1v₀²-0,05v₀²

^{-> wie wird das V0/10 gelöst?}

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In dem Moment, in dem der Ball seine maximale Höhe erreicht "steht" er quasi in der Luft und hat deshalb die Geschwindigkeit v(t) =0.

$$ 5=1,5+{ v }_{ 0 }({ v }_{ 0 }/10)-5({ v }_{ 0 }/10)^{ 2 }\\ 5=1,5+\frac { { v }_{ 0 }^{ 2 } }{ 10 } -5\frac { { v }_{ 0 }^{ 2 } }{ 100 } \\ 5=1,5+0,1{ v }_{ 0 }^{ 2 }-0,05{ v }_{ 0 }^{ 2 } $$

Ich habe aus dem /10 eine Dezimalzahl gemacht.