Wie lange braucht ein von einem 300m hohen Turm fallender Stein, bis er am Boden aufschlägt? (ohne Luftwiderstand)

Question

Ich bin im Moment dabei ein wenig Integralrechnung zu üben und habe die folgende Aufgabe nun vor mir:
Wie lange braucht ein von einem 300m hohen Turm fallender stein, bis er am Boden aufschlägt? (ohne Luftwiderstand)

Nun verstehe ich nicht ganz wie ich das mit der Integralrechnung verbinden soll, da ich ja einfach die normale Formel für den freien Fall benutzen kann, sieht bei mir dann so aus:

$$\sqrt{\frac{s}{(\frac{g}{2})}}=t$$

$$\sqrt{\frac{300}{(\frac{9,81}{2})}}=t$$

$$7,82=t$$

ist ja so ziemlich die einfachste art und weise wie man es machen könnte :p
Würde aber gerne trotzdem mal die Integralrechnungsversion davon sehen ;)

,

mfg Subis

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie lange braucht ein von einem 300m hohen Turm fallender stein, bis er am Boden aufschlägt? (ohne Luftwiderstand)

Stichworte: integral,integralrechnung,freier,fall

Ich bin im Moment dabei ein wenig Integralrechnung zu üben und habe die folgende Aufgabe nun vor mir:
Wie lange braucht ein von einem 300m hohen Turm fallender stein, bis er am Boden aufschlägt? (ohne Luftwiderstand)

Nun verstehe ich nicht ganz wie ich das mit der Integralrechnung verbinden soll, da ich ja einfach die normale Formel für den freien Fall benutzen kann, sieht bei mir dann so aus:

$$\sqrt{\frac{s}{(\frac{g}{2})}}=t$$

$$\sqrt{\frac{300}{(\frac{9,81}{2})}}=t$$

$$7,82=t$$

ist ja so ziemlich die einfachste art und weise wie man es machen könnte :p
Würde aber gerne trotzdem mal die Integralrechnungsversion davon sehen ;)

vielen dank im voraus,

mfg Subis

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Vom Duplikat:

Titel: Wie lange braucht ein fallender Stein bis er auf dem Boden ist?

Stichworte: freier,fall,integralrechnung,stein,weg,zeit

Hallo,

Wir haben eine Aufgabe aus dem naturwissenschaftlichen Bereich bekommen die wir mit der Integralrechnung berechnen sollen!

Es geht um folgende Aufgabe:

Wie lange braucht ein von einem 300 natürlich fallender Stein bis er auf dem Boden aufschlägt(ohne Luftwiderstand)?

Danke

Answer 1

s = 1/2 * g * t^2

300 = 1/2 * 9.81 * t^2

t = 7.820618870

Der Stein braucht etwa 7.8 Sekunden.

Comments

Die Formel für den Weg bekommt man indem man über die Geschwindigkeit integriert

v = g * t

∫ v(t) dt = 1/2 * g * t^2

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danke für deine schnelle Antwort, was ich aber wissen wollte war, ob man die zeit in diesem Fall auch durch Integration berechnen kann. Weil diese Aufgabe in dem buch im Kapitel Integralrechnung steht, war ich da neugierig und wollte mal die alternative berechnung der zeit gesehen :P

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Ich sagte ja das man auf die Formel durch Integration kommt. D.h. du kommst auch mit der Integration auf die Zeit. Du musst das Integral über v(t) = 300 m setzen.

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was sind denn dann die grenzen des integrals? da komme ich irgendwie nicht weiter...

würde sagen die untere ist 0 aber bei der oberen habe ich keine ahunung

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v(t) = g * t

∫ (0 bis t) g * t dt = 300

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$$300=\left |\frac{9,81}{2}  t^2 \right |_{0}^{t}\Leftrightarrow \sqrt\frac{300}{(\frac{9,81}{2})}=t$$

ist die schreibweise so richtig? und die vorgehensweise natürlich auch?

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Ja. Eigentlich sollte im Integral und in den Grenzen nicht der gleiche Buchstabe verwendet werden. Man könnte also als Grenze auch x nehmen oder man schreibt ein t kursiv und das andere gerade.

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so dann:
$$300=\left |\frac{9,81}{2}  t^2 \right |_{0}^{x}\Leftrightarrow \sqrt\frac{300}{(\frac{9,81}{2})}=t$$

wie gebe ich dann an was x ist? weil ich muss ja irgendwie festlegen was es für mich hier definiert oder ?

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das x ist hier natürlich die Zeit über die man integriert. Daher hatte ich weiter oben auch das t sowohl im Integral auch in den Grenzen benutzt. Allerdings ist das eben nicht so schön.

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gut, das habe ich verstanden.

gibt es da noch eine alternative wie ich das definieren kann?

z.B. einfach x=t da hin zu schreiben? :D

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Was ist jetzt genau Zweck der Definition. Schreib doch hin x ist die obere Zeitgrenze gemessen in Sekunden.

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also wenn ich z.b. einfach im integral ein u als integrationsvariable nehme ist das völlig in ordnung? also das ich einfach nur wie du sagtest keine grenze im integral stehen habe und deswegen aus dem t im integral ein u gemacht habe.
mir gehts eig. nur darum das ich aufeinmal ein x da stehen habe und das so aussieht als hätte ich das aus lust und laune einfach so behauptet das da ein x hin kann, hätte erwartet das ich es noch irgendwie vermerken muss.

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Die Angelegenheit in aller Kürze

Der freie Fall ist eine  gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Weg / Zeit -Diagramm ist eine Parabel
1.Ableitung : [ Weg / Zeit ] ´ - Diagramm ist eine Gerade
2. Ableitung : [ Weg / Zeit ] ´´ ist eine Konstante
( Die Ableitung einer Geraden ist deren Steigungsfaktor )

Die Konstante wird beim freien Fall mit g bezeichnet und
beträgt  9.81 m/s^2.

Wieder aufleiten
t ist die Zeit
s ´´ ( t ) = g
s ´ ( t )  = v ( t ) = ∫ g dt = g * t
s ( t ) = ∫ g * t dt = 1/2 * g * t^2

In deinem Fall wäre eine mögliche Schreibweise
( bei dir im Kommentar mit so dann beginnend )
300 = [ 1/2 * g * t^2 ]₀^x

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Du kannst in der Mathematik deine Variablen nennen wie du willst. Man könnte auch y oder q nehmen. Wenn du u nehmen willst nimm halt das u und wer T bevorzugt sollte das nehmen.

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Vielen dank Mathecoach und natürlich auch dir georgborn,

das mit der Schreibweise hab ich jetzt auf jeden geschnallt und ich hoffe auch, dass ich das auf andere aufgaben übertragen kann, wenn ich zuhause bin mach ich gleich nochmal eine um zu gucken ob es sitzt.

Mathecoach: ahh ich wusste nicht das ich einer variablen einfach so auch zwei bezeichnungen geben darf, dann ist das ja eig. ganz klar^^ Ich glaube schon das ich das auch wohl verstanden hatte nur ich war halt ein wenig neugierig danach, wieso ich das einfach so sagen darf ohne das irgendwo zu vermerken.

mfg, Subis

Answer 2

s= 0,5*g*t^2

g= 9,81 m/sec^2

300= 0,5*9,81*t^2

t= ...

Answer 3

Wenn das ganze mit Integralrechnung gelöst werden soll:

Beschleunigung: a=-g

Geschwindigkeit: v = int( a dt) = -g*t + C_1

Da die Geschwindigkeit beim Loslassen 0 ist:

v(t=0)=C_1=0

Ort: x=int( v dt) = -1/2*g*t^2 + C_2

x(t=0)=C_2=300m

Also:

x(t)=-1/2*g*t^2 + 300m

Zur Berechnung des Aufprallzeitpunkts:

x(T)=0m

1/2*g*T^2=300m

T=(2*300m/g)^{1/2}