Antwort mit KI erzeugt
Lösung:
Um die benötigte Wärmemenge zu berechnen, die erforderlich ist, um die Temperatur eines Gases zu erhöhen, verwenden wir die Formel für die Wärme \(Q\) bei konstantem Volumen:
\(Q = nC_V\Delta T\)
wo:
- \(Q\) ist die Wärme,
- \(n\) ist die Anzahl der Mole des Gases,
- \(C_V\) ist die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen,
- \(\Delta T\) ist die Temperaturänderung in Kelvin.
Die Temperaturänderung \(\Delta T\) in Kelvin ist gleich der Temperaturänderung in Celsius:
\(\Delta T = T_{\text{end}} - T_{\text{start}} = 105^\circ C - 100^\circ C = 5 K\)
Die spezifische Wärmekapazität \(C_V\) für ein einatomiges ideales Gas kann mittels der Formel \(C_V = \frac{3}{2}R\) bestimmt werden, wobei \(R\) die allgemeine Gaskonstante ist (\(R = 8.314 \frac{J}{mol\cdot K}\)).
Also,
\(C_V = \frac{3}{2} \times 8.314 = 12.471 \frac{J}{mol\cdot K}\)
Um die Menge des Gases \(n\) zu bestimmen, verwenden wir die ideale Gasgleichung:
\(PV = nRT\)
Umstellen nach \(n\):
\(n = \frac{PV}{RT}\)
Wir wissen, dass:
- \(P = 920 hPa = 92,000 Pa\), da 1 hPa = 100 Pa ist,
- \(V = 1200 m^3\),
- \(T\) wird in Kelvin benötigt, also konvertieren wir die Starttemperatur: \(T = 100^\circ C + 273.15 = 373.15 K\),
- \(R = 8.314 \frac{J}{mol\cdot K}\).
Setze die gegebenen Werte ein:
\(n = \frac{92,000 \cdot 1200}{8.314 \cdot 373.15}\)
\(n = \frac{110400000}{3104.0771}\)
\(n \approx 35567.2238\, mol\)
Nun, da wir alle erforderlichen Werte haben, können wir die Wärmemenge \(Q\) berechnen:
\(Q = nC_V\Delta T\)
\(Q = 35567.2238 \times 12.471 \times 5\)
\(Q \approx 2219708.6973 J\)
Somit ist die benötigte Wärmemenge, um die Luft im Heißluftballon von 100 auf 105 Grad Celsius zu erwärmen, ungefähr \(2,219,708.6973 J\) oder etwa \(2.22 MJ\).
