Berechnung der Masse eines Flächenstücks. Dichte p(x,y)= 1 + x + y und p(x,y) = 1 + |xy|

Question

Mir ist klar wie man das berechnet wen nur ein X und Y koordinat gegeben ist, aber hir in der aufgabe unter (a) sind 3 gegeben und ich kapier nicht wie ich dass jetzt berechnen soll. In der aufgabe steht "FlächenstückE", also plural, also soll ich (X + Y + 1) nach Y mit grenzen 0 bis 2 und nach X 0 bis 2 integrieren und dan (X + Y + 1) nach Y mit grenzen 0 bis 1 und nach X von 0 bis 1 integrieren???

Unter (b) ist mir das auch nicht do ganz klar, was ist jetzt (x oder y) unter welchen koordinaten gegeben und was muss ich jetzt integrieren??? ich weiß ja das ich 1 + xy integrieren muss, aber was sind den jetzt die untergrenzen und obergrenzen??

Answer 1

Aufgabe a)

$$\int_0^\frac{1}{2}\left(\int_0^2( x+y+1) dy\right)dx+\int_\frac{1}{2}^2\left(\int_0^\frac{1}{x}( x+y+1) dy\right)dx=\ldots$$

oder

$$\int_0^2 \left(\int_0^2 (x+y+1) \, dy\right) \, dx-\int_{\frac{1}{2}}^2\left(\int_{\frac{1}{x}}^2 (x+y+1) \, dy\right) \, dx=\ldots$$

Comments

Danke, danke, danke, danke. Das habe ich mir schon gedacht. danke viel malls.

Doch wie geht jetzt unter (b)?? Soll ich jetzt 1 + xy nach x integrieren mit der unter grenze x² + 7y² und obergrenze 1???

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Woher nehmt Ihr die Information,  dass y=2 ist für alle x zwischen 0 und 1/2???

Für mich nimmt y für x zw. 0 und 1/2 Werte zwischen 0 und 2 an.

oder übersehe ich was?

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$$\int_a^bf(x)dx$$

Integral a bis b über f(x)dx. Das schließt alle Werte x=a bis x=b ein.

Oder schlag eine andere Herangehensweise vor. Ich bin gespannt.

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ich meine die Darstellung im Graphen.

da ist y=2 für den von mir genannten Bereich,  und das kann ich nicht nachvollziehen

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Der gesuchte Bereich ist bei mir hellblau. Dort ist die obere Grenze y=2 im Bereich x=0 bis x=1/2.

Der rote Bereich gehört nicht zum gesuchten Flächenstück. Ich wollte nur eine zweite Möglichkeit zeigen. Indem man über das Quadrat x=0...2,y=0,,...2 integriert und dann den roten Bereich abzieht und so zur gleichen Lösung kommt.

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Das der hellblaue Bereich der gesuchte ist, ist mir bewusst.

aber die aufhabe sagt doch lediglich,  dass im bereich von 0 <=x <=1/2

y werte zwischen 0 und 2 annimmt.

du setzt voraus,  dass y für jedes x aus diesem bereich 2 wird.

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Wenn ich beide Integrale ausrechnen lasse von Mathematica  komme ich auf

$$\frac{9}{4}+Log[4]\approx 5.886294361119891$$

Ich denke wir reden aneinander vorbei. Hast du deinen vorherigen Post editiert?

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und wenn ich die integrale berechne,  dann kommt für den Bereich von x zw.0 und 1/2

und y zw 0 und 2 als Ergebnis 9/4 raus.

der in dem Bereich aber größtmögliche Flächeninhalt ist aber doch1/2*2=1

entweder steh ich gerade mega auf dem Schlauch oder ich weiß auch nicht....

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ohhhhh shit!!!!!

ich turn die ganze zeit zwischen Fläche und masse,

das wars.

dennoch seh ich nicht wie du auf diesen Graph gekommen bis.

der rechte teil ist kein Problem (1/2 <=x <=2)

aber links??

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Aha es hat Klick gemacht.  Aber ich habe keine Lust immer zu Raten was du meinst. meinst du das folgende Integral?

$$ \int_0^\frac{1}{2}\left(\int_0^2( x+y+1) dy\right)dx $$

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die integrale sind mir klar,

ich sehe nur nicht wie der graph dazu passen soll.

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für mich sieht das so aus.

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$$M_{links}=\left\{(x,y) \in \mathbb{R^2} \mid 0 \le y \le 2 \quad für \quad 0 \le x \le \frac{1}{2} \right\}$$

ist für mich ein Rechteck.

bei dir ist

$$M_{links}=\left\{(x,y) \in \mathbb{R^2} \mid 0 \le y \le 4x  \quad für \quad 0 \le x \le \frac{1}{2} \right\}$$

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aber müsste da dann nicht y=2 stehen?

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Die Menge ist so beschrieben und nicht mit y=2.

Gib den Bereich doch mal in Wolframalpha ein. Damit du es dir besser vorstellen kannst.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3Cy%3C2%26%260%3Cx%3C1%2F2

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ja eben die menge sagt y wird irgendwas zwischen 0 und 2.

der graph spuckt aber aus, dass y für den Bereich überall 2 ist.

und das versteh ich nicht

und, dass es bei mir ein Dreieck ist ist ja auch beliebig,  ich könnte da auch lustig eine kurve zeichnen solange ich kleiner als 2 bleibe mMn

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Welcher Graph,

bei mir ist die hellblaue Fläche ein Rechteck im Bereich x=0 bis x=1/2 mit y=0 bis 2.

und, dass es bei mir ein Dreieck ist ist ja auch beliebig,  ich könnte da auch lustig eine kurve zeichnen solange ich kleiner als 2 bleibe mMn. 

Aber die beschriebene Menge ist kein Dreieck oder eine Kurve. Sie ist ein Rechteck im R^2

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ach du scheiße!!!

ich bin ja so mega blöde......ich hab zu kompliziert gedacht.

sorry!!!!!

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dann tut es mir leid.

Nochmal in einfachen Worten y nimmt alle Werte zischen 0 und 2 an für x zwischen 0 und 1/2.

Klar ist dein Dreieck eine Teilmenge dieser Menge. Auch jede Kurve oder Punkt innerhalb der Grenzen ist eine Teilmenge. Aber die gesuchte Menge ist ein Rechteck. und über diese Fläche soll dann integriert werden.