Der Gesamtwiderstand für den Fall \(n=1\) ist
$$R_1=2 R_c + R_v$$
Liegt eine Schaltung mit \(n\) 'Bögen' vor, so kann man die gesamte Schaltung parallel zu einem weiteren \(R_v\) mit zwei zusätzlichen \(R_c\) in Reihe schalten und man erhält
$$R_{n+1}=2 R_c + \frac{R_v \cdot R_n}{R_v + R_n}$$
Zur weiteren Betrachtung setze ich \(v=\frac{R_v}{R_c}\) und \(R_n= R_c \cdot r_n\). Nach Einsetzen in die Rekursionsgleichung erhält man
$$R_{n+1}=R_c\left( 2 + \frac{v \cdot r_n}{v+ r_n}\right) \quad \text{bzw.:} \space r_{n+1}=2 + \frac{v \cdot r_n}{v+ r_n}$$
$$\text{mit} \space r_1=2 + v$$
Durch die Bildung der Differenz \(r_{n+1}-r_{n+2}\) kann man nachweisen, dass die Folge monoton fällt. Es ist
$$r_{n+1}-r_{n+2}=\frac{( r_n^2 -2 r_n - 2 v) v^2}{2 r_n^2 (1 + v) + v^2 (2 + v) + r _nv (4 + 3 v)}$$
Diese Differenz ist genau dann größer 0, wenn
$$r_n^2 -2 r_n - 2 v \gt 0 \quad \text{bzw.:} \space r_n > 1 + \sqrt{2v+1}$$
Weiter ist eindeutig, dass \(r_n \ge 2\) ist, da \(v\) und \(r_n\) größer gleich 0 sind. Damit ist bewiesen, dass ein Grenzwert existiert, wenn \(r_n\) obige Ungleichung einhält. Mit der Existenz eines Grenzwert \(r_{\infty}\) muss gelten
$$r_{\infty}=2 + \frac{v \cdot r_{\infty}}{v+ r_{\infty}}$$
Daraus folgt:
$$r_{\infty}=1 + \sqrt{2v+1} $$
was der gleiche Ausdruck ist wie oben!
Die allgemeine Gleichung für den Grenzwert des Gesamtwiderstandes ist demnach wie schon vermutet:
$$R_{\infty}= R_c \cdot r_{\infty} =R_c \left( 1 + \sqrt{2 \frac{R_v}{R_c} + 1}\right)$$
Für den Fall dass \(R_v=R_c=R\) also \(v=1\) ist
$$R_{\infty}=R(1+\sqrt{3})$$ womit die Frage von 2014 auch beantwortet wäre
Gruß Werner
