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Kräfte an der Zugbrücke
Um die Kräfte, die auf die Zugbrücke wirken, vollständig zu beschreiben und ihre Richtungen sowie Größen zu bestimmen, betrachten wir die gegebenen und die zu suchenden Kräfte. Die Masse der Brücke beträgt \(2000 \, \text{kg}\), und sie bildet einen Winkel von \(60^\circ\) gegen die Senkrechte, was tatsächlich bedeutet, dass der Neigungswinkel der Brücke \(30^\circ\) zur Horizontalen beträgt, wenn wir die gängige Definition des Neigungswinkels verwenden.
1.
Gewichtskraft der Brücke (\(F_g\)):
Diese Kraft wirkt vertikal nach unten und ist das Produkt aus der Masse der Brücke (\(m\)) und der Erdbeschleunigung (\(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)).
\(F_g = m \cdot g = 2000 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \text{m/s}^2 = 19620 \, \text{N}\).
2.
Stützkraft der Wand auf die Brücke (\(F_w\)):
Diese Kraft wirkt senkrecht zur Wand. Ihre Größe und Richtung hängen von der Gleichgewichtsanforderung ab, die verlangt, dass die Summe aller horizontalen Kräfte gleich null ist.
3.
Zugkraft der Kette (\(F_k\)):
Diese Kraft hält die Brücke im Gleichgewicht und wirkt entlang der Kette. Teil dieser Kraft sind sowohl vertikale als auch horizontale Komponenten, die jeweils zur Balance der vertikalen und horizontalen Kräfte beitragen.
4.
Normalreaktionskraft des Bodens (\(F_N\)):
Diese Kraft wirkt senkrecht auf die Brücke vom Drehpunkt und trägt dazu bei, die Brücke in der horizontalen Ebene zu stützen.
Berechnung der Kräfte
Zur Bestimmung des Betrags der Zugkraft der Kette (\(F_k\)) und der Stützkraft der Wand (\(F_w\)) müssen wir das Kräftegleichgewicht und das Momentengleichgewicht betrachten:
-
Vertikale Kräfte: Die vertikale Komponente der Zugkraft der Kette (\(F_{k_y}\)) muss der Gewichtskraft der Brücke (\(F_g\)) entgegenwirken, damit kein Netto-Kraft in vertikaler Richtung existiert.
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Horizontale Kräfte: Die horizontale Komponente der Zugkraft der Kette (\(F_{k_x}\)) muss durch die Stützkraft der Wand (\(F_w\)) ausgeglichen werden.
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Momentengleichgewicht: Wählt man als Drehpunkt den Berührungspunkt der Brücke mit dem Boden (Pivot), so muss das Moment, das durch die Gewichtskraft der Brücke entsteht, dem Moment, das durch die Zugkraft der Kette entsteht, entsprechen.
Da die genaue Position, an der die Kette an der Wand befestigt ist, oder weitere mechanische Details fehlen, nehmen wir für eine grundlegende Analyse an, dass die Kette so befestigt ist, dass ihre Zugkraft sowohl der Gewichtskraft der Brücke als auch den horizontalen Tendenzen der Brücke entgegenwirkt.
Schritte zur Findung der Kräfte
- Zunächst löst man das Problem am besten, indem man die Komponenten der Gewichtskraft der Brücke in eine Komponente parallel zur Brücke und eine senkrecht dazu aufteilt. Die parallele Komponente trägt zum Moment bei, das von der Kette ausbalanciert werden muss.
- Die Zugkraft \(F_k\) kann dann mit Hilfe der Trigonometrie gefunden werden, indem man beachtet, dass die Kraftwirkungslinie bei einer idealen Zugbrücke wahrscheinlich direkt entlang der Kettenrichtung läuft. Nutzt man den Winkel \(30^\circ\), lassen sich die horizontalen und vertikalen Komponenten der Zugkraft über die Beziehungen des rechtwinkligen Dreiecks berechnen.
Eine explizite Lösung für \(F_w\) und \(F_k\) erfordert spezifischere Informationen über die Anordnung und die Länge der Kette. Generell kann jedoch festgehalten werden, dass die horizontale Komponente der Zugkraft (\(F_{k_x}\)) gleich der Stützkraft der Wand (\(F_w\)) sein muss und die vertikale Komponente (\(F_{k_y}\)) die vertikale Gewichtskraft der Brücke ausgleicht.
