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Geschwindigkeit von Elektronen bei 7,5 GeV im DESY
Wir wollen die Geschwindigkeit von Elektronen berechnen, die im Deutschen Elektronen-Synchrotron (DESY) in Hamburg auf eine Energie von 7,5 GeV (Gigaelektronenvolt) beschleunigt werden können.
Um die Geschwindigkeit der Elektronen zu bestimmen, wird zuerst die Gesamtenergie \(E_{\text{ges}}\) in Betracht gezogen, die sich aus der kinetischen Energie \(E_{\text{kin}}\) und der Ruheenergie \(E_0\) zusammensetzt:
\(E_{\text{ges}} = E_{\text{kin}} + E_0\)
Die Ruheenergie \(E_0\) eines Elektrons kann mit der berühmten Gleichung \(E_0 = mc^2\) berechnet werden, wobei \(m = 9,109 \times 10^{-31}\) kg die Masse des Elektrons und \(c = 3,00 \times 10^8\) m/s die Lichtgeschwindigkeit ist.
\(E_0 = (9,109 \times 10^{-31}\text{ kg}) \cdot (3,00 \times 10^8\text{ m/s})^2\)
\(E_0 = 8,187 \times 10^{-14}\text{ J}\)
Um von Joule in Elektronenvolt umzurechnen (da \(1\text{ eV} = 1,602 \times 10^{-19}\text{ J}\)), erhalten wir:
\(E_0 = \frac{8,187 \times 10^{-14}\text{ J}}{1,602 \times 10^{-19}\text{ J/eV}} = 0,511 \text{ MeV}\)
Jetzt haben wir die Ruheenergie \(E_0\) von etwa 0,511 MeV und eine Gesamtenergie von 7,5 GeV (oder 7500 MeV, da 1 GeV = 1000 MeV).
Die kinetische Energie \(E_{\text{kin}}\) ist dann einfach die Gesamtenergie minus die Ruheenergie:
\(E_{\text{kin}} = E_{\text{ges}} - E_0 = 7500 \text{ MeV} - 0,511 \text{ MeV} = 7499,489 \text{ MeV}\)
Um die Geschwindigkeit zu finden, nutzen wir die relativistische Energie-Impuls-Beziehung:
\(E_{\text{ges}}^2 = (pc)^2 + (E_0)^2\)
\(p = \frac{1}{c}\sqrt{E_{\text{ges}}^2 - E_0^2}\)
wo \(p\) der Impuls der Elektronen ist. Die relativistische Beziehung zwischen dem Impuls und der Geschwindigkeit lautet \(p = \gamma mv\), wobei \(\gamma\) der Lorentz-Faktor \( \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \) ist.
Es gibt jedoch einen direkteren Weg, die Geschwindigkeit zu berechnen, indem wir die gesamte Energie verwenden, die mit der Masse in Verbindung steht:
\(E_{\text{ges}} = \gamma mc^2\)
\(\gamma = \frac{E_{\text{ges}}}{mc^2}\)
Da aber \(E_{\text{ges}} = E_{\text{kin}} + E_0\) ist und wir \(E_{\text{kin}}\) kennen, können wir \(\gamma\) direkt berechnen und dann \(v\):
\(\gamma = \frac{E_{\text{ges}}}{mc^2} = \frac{E_{\text{kin}} + E_0}{mc^2}\)
mit \(E_{\text{ges}} = 7500 \text{ MeV}\) oder in Joule umgerechnet. Da die Geschwindigkeit sehr nahe an der Lichtgeschwindigkeit liegt, ist es oftmals einfacher, mit der relativistischen Energieformel zu arbeiten oder numerische Methoden zur Lösung zu verwenden, da die direkte Anwendung der Formeln schnell komplex wird aufgrund der Notwendigkeit, die Energie von MeV in Joule umzurechnen und dann den entsprechenden Wert von \(\gamma\) zu verwenden, um \(v\) zu berechnen.
Die direkte Berechnung der Elektronengeschwindigkeit ohne numerische Methoden und mehr spezifische Daten (wie der genaue Wert von \(\gamma\)) oder Annahmen ist in diesem Format herausfordernd. Die Schlüsselaufnahme ist jedoch, dass mit einer kinetischen Energie von 7,5 GeV das Elektron sehr nahe an der Lichtgeschwindigkeit sein wird, aber immer unterhalb der Grenze von \(c\), entsprechend den Vorhersagen der Relativitätstheorie.
