Antwort mit KI erzeugt
a) Richtungen der Kräfte
An der Leiter greifen folgende Kräfte an:
-
Gewichtskraft (G): Sie wirkt immer senkrecht nach unten und geht durch den Massenschwerpunkt der Leiter. Die Größe der Gewichtskraft ist gegeben durch \(G = m \cdot g\), wobei \(m = 10\) kg die Masse der Leiter und \(g = 9,81\) m/s² die Erdbeschleunigung ist.
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Normalkraft am Boden (N_B): Wirkt senkrecht nach oben, entgegengesetzt zur Gewichtskraft, am unteren Ende der Leiter.
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Normalkraft an der Wand (N_W): Wirkt horizontal und nach innen, an der oberen Seite der Leiter, um die Leiter gegen die Schwerkraft zu stützen.
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Reibungskraft am Boden (F_R,B): Wirkt horizontal und entgegen der Bewegungsrichtung, die eintreten würde, wenn die Leiter zu rutschen beginnt. Sie ist proportional zur Normalkraft am Boden und gegeben durch \(F_{R,B} = \mu_{HB} \cdot N_B\).
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Reibungskraft an der Wand (F_R,W): Wirkt vertikal nach unten, entgegen der Bewegungsrichtung, ebenfalls proportional zur Normalkraft an der Wand, und ist gegeben durch \(F_{R,W} = \mu_{HW} \cdot N_W\).
b) Ermittlung des minimalen Winkels
Um den minimalen Winkel \(\theta\) zwischen Boden und Leiter zu berechnen, bei dem die Leiter nicht rutscht, verwenden wir die Gleichgewichtsbedingungen:
1.
Summe der horizontalen Kräfte ist null:
\(N_W - F_{R,B} = 0\)
\(N_W = F_{R,B}\)
\(N_W = \mu_{HB} \cdot N_B\)
2.
Summe der vertikalen Kräfte ist null:
\(N_B - G + F_{R,W} = 0\)
\(N_B = G - F_{R,W}\)
\(N_B = G - \mu_{HW} \cdot N_W\)
Und die Gleichung von \(N_W\) in die zweite Gleichung einsetzen ergibt:
\(N_B = G - \mu_{HW} \cdot \mu_{HB} \cdot N_B\)
Lösen nach \(N_B\) gibt:
\(N_B = \frac{G}{1 + \mu_{HW} \cdot \mu_{HB}}\)
3.
Momentum (Drehmoment) Gleichgewicht um den Drehpunkt am Boden:
Die Gewichtskraft erzeugt ein Moment um den Punkt am Boden, wo die Leiter steht. Dieses Moment muss durch das Moment der Reibungskraft an der Wand ausgeglichen werden, damit die Leiter im Gleichgewicht ist:
\(G \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\theta) = F_{R,W} \cdot L \cdot \sin(\theta)\)
Wobei \(L = 2,4\) m die Länge der Leiter ist. \(F_{R,W} = \mu_{HW} \cdot N_W\) und \(N_W = \mu_{HB} \cdot N_B\) verwenden:
\(G \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\theta) = \mu_{HW} \cdot \mu_{HB} \cdot N_B \cdot L \cdot \sin(\theta)\)
Da \(N_B = \frac{G}{1 + \mu_{HW} \cdot \mu_{HB}}\), setzen wir diesen Wert ein und erhalten:
\(G \cdot \frac{L}{2} \cdot \cos(\theta) = \mu_{HW} \cdot \mu_{HB} \cdot \frac{G}{1 + \mu_{HW} \cdot \mu_{HB}} \cdot L \cdot \sin(\theta)\)
Vereinfachen und \(G\), \(L\) kürzen:
\(\frac{1}{2} \cdot \cos(\theta) = \mu_{HW} \cdot \mu_{HB} \cdot \frac{1}{1 + \mu_{HW} \cdot \mu_{HB}} \cdot \sin(\theta)\)
Auf beiden Seiten \(\sin(\theta)\) und lösen für \(\tan(\theta)\) ergibt:
\(\tan(\theta) = \frac{1}{2 \mu_{HW} \cdot \mu_{HB}}\)
Setzen wir die gegebenen Werte für \(\mu_{HB}\) = 0,40 und \(\mu_{HW}\) = 0,20 ein:
\(\tan(\theta) = \frac{1}{2 \cdot 0,40 \cdot 0,20}\)
\(\tan(\theta) = \frac{1}{0,16}\)
\(\tan(\theta) = 6,25\)
Um den Winkel \(\theta\) zu erhalten, berechnen wir den Arcustangens von 6,25:
\(\theta = \arctan(6,25)\)
Numerisch:
\(\theta \approx 81,0^\circ\)
Also beträgt der minimale Winkel, unter welchem die Leiter sicher an der Wand lehnt, ohne zu rutschen, etwa 81 Grad.
