Kinetische Energie - Geschwindigkeit berechnen

Question

In der Skizze ist die Masse der Kugel m = 3 kg sowie hA = 5 m und hB = 1.5 m gegeben.

Welche Geschwindigkeit hat die Kugel bei B, wenn sie bei A aus dem Stillstand losgelassen wird?

Mit welcher Geschwindigkeit muss die Kugel bei A angestossen werden damit die Geschwindigkeit bei B vB = 12.8 ms−1 beträgt?

Answer 1

Verlust an pot.Energie = Zunahme an kinetischer Energie

m * g * delta h = 1/2 * m * v^2
3 * 9.81 * ( 5 -1.5 ) = 1/2 * 3 * v^2
68.67 = v^2
v = 8.29 m/s

Comments

ich denke die Geschwindigkeiten werden mehrmals
verlustfrei umgelenkt.

Mit Anfangsgeschwindigkeit :
8.29 + x = 12.8 m/s
x = 4.51 m/s

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Nein, das ist falsch, weil dann die Energieerhaltumg verletzt wäre (Probe!).

Verlust an pot.Energie = Zunahme an kinetischer Energie

gilt auch in Teil b) .

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Hallo waffi,

für den freien Fall ( ohne Anfangsgeschwindigkeit )
gilt für die beschleunigte Bewegung
s = 1/2 * g * t^2
s = 5 - 1.5 = 3.5 m

mit Anfangsgeschwindigkeit gilt
s = 1/2 * g * t^2 + v0 * t = 3.5 m

Die Geschwindigkeit ist die 1.Ableitung des Weges
s ´( t ) = v ( t ) = g * t + v0 = 12.8 m/s
12.8 m/s = Endgeschwindigkeit

1/2 * 9.81 * t^2 + v0 * t = 3.5
9.81 * t + v0 = 12.8

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
v0 = 9.8 m/s

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Ich blick mehr oder weniger durch, danke :)

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Du mußt dir die beiden grundsätzlichen
Bewegungsformen einprägen.

Gleichförmige Bewegung

gleichförmig beschleunigte Bewegung ( z.B. freier Fall )

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Vielen Dank, jetzt hat es Klick gemacht :)

Answer 2

Hallo,

zu b)

E_(anfang) =1/2mv_(A)^2

E_(Ende)= 1/2 mv_(B)^2 +mgΔh

1/2mv_(A)^2= 1/2 mv_(B)^2 +mgΔh

v_(A)=√( v_(B)^2 +2gΔh)

Jetzt noch die gegebenen Werte einsetzen !

Comments

Du solltest vielleicht noch erwähnen, dass in diesem Fall das \(\Delta h = h_B -h_A \lt 0\) ist.

Answer 3

Hallo,

man kann das, glaube ich, über den Energieerhaltungssatz machen:

$$\text{Ekin1}=\text{Epot1}\\\frac{m}{2}\cdot ({v}_{1})^2=m\cdot g\cdot {h}_{1}\\{v}_{1}=\sqrt{2\cdot g\cdot {h}_{1}}$$

Damit kann man dann die Geschwindigkeit am Boden ausrechnen.

$${v}_{1}=\sqrt{2\cdot 9.81\frac{m}{s^2}\cdot 5m}\approx 9,9ms$$

Am Punkt B gilt:

$$\text{Ekin1}=\text{Epot2}+\text{Ekin2}\\\frac{m}{2}\cdot ({v}_{1})^2=m\cdot g\cdot {h}_{2}+\frac{m}{2}\cdot ({v}_{2})^2$$

Das jetzt nach v₂ auslösen:

$${v}_{2}=\sqrt{({v}_{1})^2-2\cdot g\cdot {h}_{2}}$$

Einsetzen:

$${v}_{2}=\sqrt{\sqrt{(2\cdot g\cdot {h}_{1})}^2-2\cdot g\cdot {h}_{1}}\\v_{2}=\sqrt{2\cdot g\cdot h_{1}-2\cdot g\cdot h_{2}}\\v_{2}=\sqrt{2g\cdot (h_{1}-h_{2})}$$

Werte einsetzten und du erhältst: \(v_{2}\approx 8,29\frac{m}{s^2}\)

Schaffst du die zweite Aufgabe alleine?

EDIT: Das ausrechnen am Boden ist nur als Art Kontrolle, also nicht vonnöten

Gruß

Smitty

Comments

Was meinst du smitty,

  Verlust durch Verformungen, Reibung und Umlenkung
braucht ja nicht berücksichtigt werden.

  Mit Anfangsgeschwindigkeit :
8.29 + x = 12.8 m/s

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Vielen Dank, ich glaube das ich es verstanden habe. Für die zweite Aufgabe kann ich die gleiche Formel nehmen muss aber V2 noch dazu nehmen oder?

v1=√ v2 - 2g•(h1−h2)

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@georgborn ich weiß gerade nicht, was du meinst.

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Üblicherweise sind Geschwindigkeiten Vektoren
werden also richtungsabhängig verknüpft.

ist das hier auch der Fall oder kann einfach addiert werden ?

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Üblicherweise sind Geschwindigkeiten Vektoren werden also richtungsabhängig verknüpft.

Nur liegt hier keine Vektoren- oder Geschwindigkeitsaddition vor. Energie ist zum einen eine skalare (also ungerichtetet) Größe und zum anderen hängt sie vom Quadrat der Geschwindigkeit ab. D.h. um die Geschwindigkeit der Kugel von \(8,3 \text{m/s}\) auf \(12,8 \text{m/s}\) zu bringen brauchst Du mehr Energie, als sie von \(0\text{m/s}\) auf \((12,8-8,3)\text{m/s}=4,5\text{m/s}\) zu beschleunigen. Und dieses 'mehr' muss irgendwo herkommen.

Es ist notwendig, sie mit ca. \(9,76 \text{m/s}\) 'anzuschieben' (wenn man den Anteil der Rotationsenergie der Kugel vernachlässigt)

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Hallo Werner,

schönen Dank für deine Erklärungen.

m/2 * 8.3 ^2 + m/2 * x^2 = m/2 * 12.8
8.3 ^2 + x^2 = 12.8^2
9.74 m/s

Was ist an diesem Bild falsch

Eine Kugel rollt mit 8.3 m/s auf einer Unterlage.
Jetzt wird die Unterlage mit zusätzlich 4.5 m/s
gezogen.
Gesamtgeschwindigkeit 12.8 m/s.

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Hallo Werner,
es kann auch der freie Fall herangezogen
werden.
v = √ ( 2 * g * h )
v = √ ( 2 * 9.81 * 3.5 )
v = 8.3 m/s

Hat die Kugel zu Anfang bereits eine
Geschwindigkeit von 4.5 m/s ist die
Gesamtgeschwindigkeit
8.3 + 4.5 = 12.8 m/s

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Ich denke ich habs.
die Formel
v = √ ( 2 * g * h )  gilt nur für den freien Fall
ohne Anfangsgeschwindigkeit.

Durch die Anfangsgeschwindigkeit verkürzt sich
die Fallzeit und der Körper bekommt eine geringeren
Endgeschwindigkeit durch die Beschleunigung.

s = 1/2 * g * t^2 + v0 * t
3.5 = 1/2 * g * t^2 + v0 * t

v = g * t + v0
12.8 = g * t + v0

2 Gleichungen mit 2 Unbekannten
v0 = 9.8 m / s

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Danke für die vielen Antworten, die erste Aufgabe verstehe ich jetzt. Ich hab da ein durcheinander mit der Formel gehabt aber jetzt mit Physikvideo von Youtube verstanden:)

@georgborn dein Resultat stimmt aber ich kann es nicht nachvollziehen, in der Lösung nehmen sie diese Formel:  √v2 −2g⋅(h −h ) =  √12.8(2) −2⋅9.81⋅(5−1.5)=9.8ms−1

Wieso wird die Zeit hoch zwei genommen? Da blicke ich nicht ganz durch.

Vielen Dank für die Hilfe!

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siehe unter meiner eigenen Antwort.

Answer 4

Die Rechnung in (1) kann völlig unabhängig von der Masse so geschehen:

$$\begin{aligned} (1)\quad v_{B1} &= \sqrt{2\cdot\text{g}\cdot\left(h_A-h_B\right)}\\ &= \sqrt{2\cdot9.81 \:\frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot\left(5\:\text{m}-1.5\:\text{m}\right)}\\ &\approx 8.3 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned}$$

Die Rechnung in (2) ist eine reine Geschwindigkeitsdifferenz:

$$\begin{aligned} (2)\quad v_{A} &= v_{B}-v_{B1}\\[10pt] &= 12.8 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} - 8.3 \:\frac{\text{m}}{\text{s}}\\[10pt] &= 4.5 \:\frac{\text{m}}{\text{s}} \end{aligned}$$

Das geht natürlich nur unter der Annahme, dass die Kugel in der Senke keine kinetische Energie an den Knickstellen verliert.

Comments

Die Rechnung in (2) ist eine reine Geschwindigkeitsdifferenz:

Wenn \(v_B =v_{B1} + v_A\) wäre, dann wäre die Summe aus kinetischer und potentieller Energie bei \(A\) (Basis für \(E_{pot}\) sei \(B\)) $$E_A=\frac12 m v_A^2 + mg \cdot \Delta h$$

und bei \(B\) $$E_B = \frac12 m (v_{B1} + v_A)^2$$

und lt. Aufgabenteil a) sollte doch \(mg \cdot \Delta h = \frac12 m v_{B1}^2\) sein; demnach ist: $$\begin{aligned} E_A &= \frac12 m v_A^2 + mg \cdot \Delta h \\&= \frac12 m v_A^2 + \frac12 m v_{B1}^2\\&= \frac12 m (v_A^2 + v_{B1}^2) \\&\ne \frac12 m (v_{B1} + v_A)^2 = E_B\end{aligned}$$ und der Energieerhaltungssatz wäre verletzt!

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Ok, ich habe den Einwand gelesen und werde heute abend darüber nachdenken.