Differentialgleichung Fallschirmbremse mit Ansatz

Question

Ein Flugzeug wird nach dem Aufsetzen auf der Landebahn durch Bremsfallschirme abgebremst.
Die durch den Luftwiderstand hervorgerufene Bremsverzögerung ist dem Quadrat der Geschwindigkeit
proportional: a = dv/dt = -kv² mit k = 0.04 m^-1


In welcher Zeit t₁ verringert sich die Geschwindigkeit des Flugzeuges von anfänglich v₀ =
50 m/s auf v₁ = 1 m/s, wenn ausschliesslich mit Hilfe des Luftwiderstandes gebremst wird?
(Löse die Gl. dv/dt = -kv2 mit dem Ansatz v(t) = A(t +t₀)ⁿ. Aus der Bedingung, dass die
Gleichung für beliebiges t erfüllt sein muss, ergibt sich n und auch eine Beziehung zwischen
A und k. Den Parameter t₀ bestimmt man aus der Anfangsbedingung v(t = 0) = v0. Kennt
man v(t) lässt sich die Zeit t1 berechnen.)

Ich bin wie folgt vorgegangen.

dv/-kv² = dt/1
Integral auf beiden seiten liefert: 1/kv = t + C
Umgestellt nach v liefert: v(t) = 1/(kt+kC)
Wie fahre ich weiter mit dem Ansatz um das Problem zu lösen?

Answer 1

Hallo

 Dgl richtig gelöst, jetzt zur Vereinfachung k*C=C', dann aus v(0)=50m/s und bekanntem k C' (oder C bestimmen,

Wenn du das hast einfach die Zeit t  für v(t)=1m/s bestimmen. Aber eigentlich stand das ja alles schon in deiner Anleitung?

Gruß lul

Comments

Mit C' geht es, mit k*C komme ich am Schluss nicht auf die richtige Lösung, wenn ich nach t für v(t)=1m/s auflöse. Was habe ich falsch gemacht?

$$\frac{1}{kt_1 + \frac{1}{kv_0}}=v_1$$
$$ \frac{1}{v_1k} - \frac{1}{k^2v_0}{}=t_1 $$
Mit C' erhalte ich:
$$ \frac{1}{v_1k} - \frac{1}{kv_0}{}=t_1 $$ was die richtige Lösung ist

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 was hast du denn für C und C' raus, bei mir kommt immer das zitierte richtige t1 raus. C=1/(v(0)*k)  ; C'=1/v(0)

sonst zeig deine Rechnung!

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$$v(t=0) = \frac{1}{(k*0+kC)}$$

$$v_0 = \frac{1}{(k*0+kC)}$$

$$v_0 = \frac{1}{(kC)}$$
$$C = \frac{1}{(v_0*k)}$$
$$v(t=t_1) = \frac{1}{(k*t_1+\frac{1}{v_0*k})}$$
$$v_1 = \frac{1}{(k*t_1+\frac{1}{v_0*k})}$$
$$v_1*(k*t_1+\frac{1}{v_0*k}) = 1$$
$$v_1*k*t_1 = 1-v_1*\frac{1}{v_0*k}$$
$$t_1 = \frac{1}{v_1*k}-\frac{1}{v_0*k^2}$$
das k² ist dabei falsch und mit C' erhalte ich es nicht.

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 du hast richtig C=1/(k*v(0))

 aber dann falsch in v(t)=1/(kt+Ck) eingesetzt

denn dann hast du v(t)=1/(kt+k*1/(k*v(0)))=1/(kt+1/v(0))

 also einfach ein Leichtsinnsfehler!