Direkte und indirekte Proportionalität. Ein zylindrischer Behälter fasst 0,3841 Wasser ...

Question

Hallo Leute,

ich stehe vor einem erneutem Problem. Das Thema ist jetzt proportionalität mit physikalischem Bezug und proportionalitätskonstante. Die Aufgabe lautet wie folgt und kann vom Tipler auf Seite 1395 Übung 41.5 entnommen werden:
"Ein zylindrischer Behälter fasst 0,3841 Wasser. Wie viel Wasser würde in den Behälter passen, wenn man dessen Radius verdoppelt und seine Höhe unverändert lässt ?
Hinweis: Das Volumen eines senkrechten Kreiszylinders mit dem Radius r und der Höhe h beträgt V = pi * r^2 * h. Das Volumen V ist bei gleich bleibender Höhe also direkt proportional zu r^2."

Meine Überlegung war diese:

In dem Kapitel wurde die Proportionalitätskonstante zur besseren Erläuterung erwähnt und deswegen will ich das hier beibehalten für spätere Themen wie z.b Elektromagnetismus oder Gleichstromlehre.

Also wie bereits vom Hinweis her kann man hier eine Proportionalitätskonstante wählen, um die vorliegende Situation zu beschreiben.

m = V/r^2 <- Konstante oder halt eben V = m * r^2
Da ich aber nicht weiss wie r aussieht, komm ich da nicht weiter. Natürlich weiss ich wie man direkt oder indirekt proportional rechnet aber hier geht es mir um den physikalischen Bezug z.b wie bei U = R * I, die dann sagt, dass die über einem elektrischen Widerstand abfallende Spannung U direkt proportional zum elektrischen Strom I ist, wenn der Widerstand R konstant/gleich bleibt.

Würde mich über eure Meinungen freuen.

VG :)

Answer 1

Hallo,

wenn $$V \propto r^2 $$ dann wird sich das Volumen vervierfachen, wenn sich der Radius verdoppelt. Und das gilt unabhängig davon wie groß \(r\) vor der Verdoppelung war. Bem.: \(2^2 = 4\).

Ist das Volumen \(V = \pi h r^2 \) und man ersetzt \(r\) durch ein \(r'=2r\), dann ist das neue Volumen \(V'\) $$V' = \pi h r'^2 = \pi h (2r)^2 = \pi h r^2 \cdot 4 = 4V$$

Die Proportionalitätskonstante \(m\) ist hier \(m=V/r^2\), solange \(h\) konstant bleibt. Wenn man nun \(r\) durch \(2r\) ersetzt, so muss man zwangsläufig das Volumen vervierfachen, damit \(m\) konstant bleibt. $$m = \frac{V}{r^2} = \frac{4V}{4r^2}=\frac{4V}{(2r)^2}$$ Gruß Werner

Comments

Laut Tipler ist das Zeichen für die proportionalität die Tilde "~".
Das Zeichen was du benutzt hast steht für die Ordnung.

Das mit 4V habe ich nicht verstanden. müsste ich nicht wenn dann r^2 substituieren. Also r^2 = 2r, da ja aus dem Hinweis hervorgeht das V ~ zu r^2 und nicht V ~ r ist.

VG

---

Hallo Hulli_Gulli,

Das mit 4V habe ich nicht verstanden. 

kannst Du sagen, was genau Du an \(4V\) nicht verstanden hast.

müsste ich nicht wenn dann r2 substituieren.

wozu sollte das gut sein?

Also r² = 2r, da ja aus dem Hinweis hervorgeht das V ~ zu r² und nicht V ~ r ist.

diesen logischen Schluss kann ich nicht nachvollziehen. Warum sollte \(r^2=2r\) sein - was gar nicht sein kann, denn eine Fläche ist keine Länge.

Wenn zwei Dinge zueinander proportional sind - also \(V \text{~} b\), dann muss doch  $$\frac{V}{b} = m = \text{konstant}$$ sein. Und wenn \(b=r^2\) ist, dann muss genauso $$\frac{V}{r^2} = m = \text{konstant}$$ sein. Wenn ich \(r\) verdopple, dann vervierfacht sich der Nenner. Um \(m\) konstant zu halten, muss ich demnach den Zähler auch vervierfachen.

Gruß Werner

---

Hmm auch wenn ich r^2 mit 2r ersetze macht es wenig Sinn(physikalisch) da gebe ich dir Recht. :D
Sorry hab da irgendwie was falsch gelesen glaub ich oder so. Ich habe das hier glaub ich zu sehr mit Integration durch Substitution verwechselt. Da kann man ja fast alles substituieren, da dachte ich das würde hier auch gehen. Also ich habe das einfach wohl falsch verstanden.

Ich sage das ma mit meinen eigenen Worten in Prosa.
Also der Nenner wird mit r = 2r ersetzt und das hoch zwei kommt dann hinzu. So wie folgt: Nenner -> (r)^2 = (r = 2r) ^2 = (2r)^2. Da das r jetzt verdoppelt wurde aber noch mit der potenz von 2 dann vervierfacht wird, muss ich den Zähler auch vervierfachen. Als Bsp:
Wenn die Aufgabe lauten würde verdreifache r z.b Dann wäre der Zähler 9*V 
V = pi * r^2 * h 
Konstante = V/(3r)^2 = V/9(r)^2 = 9*V/9(r)^2.

Wäre das so richtig ?

Danke und VG :)

---

formal hast Du noch einen kleine Schönheitsfehler gemacht $$\text{Konstante} =\frac{V}{r^2} = \frac{V'}{(3r)^2} = \frac{V'}{9r^2} = \frac{9V}{9r^2}$$ Ja - ansonsten ist es genau so richtig :-)

---

Und wenn ich das jetzt habe kann ich dann.
Konstante = 4V/4(r)2 so in die Formel: V = konst. * r^2.
Also V = 4V/4(r)^2 * r^2. Das r^2 würde sich zumindest weg kürzen mit r^2/r^2.
Dann hätte ich da V = 4V/4. Dann komme ich ja wieder auf V = V.
Also laut Tipler.
Anscheinend stimmt das auch nicht hmm und muss ich denn unbedingt bei V einen Strich setzen ? Im Buch sehe ich nichts darüber.

VG :)

---

Hallo Hulli_Gulli,

Anscheinend stimmt das auch nicht hmm ...

was stimmt dann da nicht? \(V=V\) ist zwar trivial, aber richtig.

muss ich denn unbedingt bei V einen Strich setzen ? Im Buch sehe ich nichts darüber.

ich kenne das Buch nicht. Aber es muss auch zwischen dem Volumen  \(V\) und einem vergrößerten Volumen (was ich \(V'\) genannt habe) unterscheiden. Vielleicht heißt es dort \(V*\) oder \(V_2\) oder Pumuckl - richtig ist in jeden Fall $$V \ne V'$$ Gruß Werner

Answer 2

Ein zylindrischer Behälter fasst 0,3841 Wasser. Wie viel Wasser würde in den Behälter passen, wenn man dessen Radius verdoppelt und seine Höhe unverändert lässt ?

r^2 * π * h = V
Verdoppelung des Radius
( r * 2 ) ^2 * π * h =
4 * r^2 * π * h =
4 * ( r^2 * π * h ) = 4 * V

Das Volumen vervierfacht sich.