Umdrehung einer Vollkugel und eines Vollzylinders

Question

Folgende Aufgabe bezüglich Vollkörpern ist gegeben:

Ein Vollzylinder und eine Vollkugel mit einer Masse von jeweils m = 1 kg besitzen beide einen Radius von R = 30 cm. Sie drehen sich jeweils um ihre Symmetrieachse mit einer Kreisfrequenz von ω = 5 Hz (siehe Skizze).

a) Wie lange dauert eine Umdrehung der beiden Körper?

b) Berechnen Sie das Trägheitsmoment und den Drehimpuls der Körper!

c) Berechnen Sie das Verhältnis der Rotationsenergien!

d) Nun rotieren die beiden Objekte nicht mehr um ihre jeweilige Symmetrieachse, sondern um eine jeweils 30 cm dazu parallel verschobene Achse (also am Umfang liegend). Wie groß ist nun das jeweilige Trägheitsmoment der Körper?

Lösungsvorschläge:

geg:
m_Z=1kg
m_K=1kg
R=30cm
ω=5Hz

ges:
Θ,L,E_Rot

Lös:

Answer 1

zu a)

ω = 2*π/T -> T = 2*π/ω = 2*π/(5 1/s) = 1,257 s

zu b)

Trägheitsmomente:

J _Kugel = (2/5) *m*r²  = (2/5) *1 kg*0,3² m² = 0,036 kg m²

J _Zylinder = (2/5) *m*r²  = (1/2) *1 kg*0,3² m² = 0,045 kg m²

Drehimpuls: L = J*ω -> L_Kugel = 0,036 kg m² * 5 1/s = 0,18 Nm*s und L_Zylinder = 0,045 kg m² * 5 1/s = 0,225 Nm*s

zu c) E_rot = (1/2) *J*ω² -> E_{rot Kugel}/E_{rot Zylinder} = ((1/2) *J_Kugel*ω²)/((1/2) *J_Zylinder*ω²) = J_Kugel/J_Zylinder

zu d) Anwendung: Satz von Steiner, wonach die Drehung des Körpers um eine Drehachse, die nicht durch den

Mittelpunkt (die Hauptträgheitsachsen gehen durch den Mittelpunkt) geht, schreiben kann als

J = J_i + m_i*x_i²

mit J_i = Trägheitsmoment des Körpers um die Drehachse im Mittelpunkt, m_i = Masse des Körpers und x_i = Abstand zwischen Drehachse und Mittelpunkt

Kugel: J =  0,036 kg m²  + 1 kg*0,3² m² =  0,126 kg m²

Zylinder:  J =  0,045 kg m²  + 1 kg*0,3² m² =  0,135 kg m²

Comments

Hallo Bepprich,

vielen Dank für deine Unterstützung! Die neue Thematik ist für mich noch nicht ganz einfach, aber du hast die Rechenschritte so gut dargestellt, dass ich mich auf die Klausur gut vorbereiten kann (Also, welche Formeln benötigt werden, wie man die Gleichungen umstellt und was man beachten bzw. anwenden muss, wie der "Satz von Steiner"). Du bekommst auf jeden Fall einen Punkt und einen Stern!

Grüße Mountain_lion