Wie gross ist die Translationsgeschwindigkeit wenn das Fass unten angekommen ist?

Question

Aufgabe:

Ein 63.5kg schweres Bierfass rollt mit der Winkelgeschwindigkeit w1=0.25rad/s auf eine 1.5m hohe Rampe zu.
Das Fass hat einen Durchmesser von 0.408m und das Trägheitsmoment ist gegeben durch 1/2*m*r^2
Wie gross ist die Translationsgeschwindigkeit wenn das Fass unten angekommen ist?

Problem/Ansatz:

Also im Allgemeinen verstehe ich nicht warum es überhaupt zu einer Veränderung der Winkelgeschwindigkeit kommt, wenn ein Fass einen Hang hinunterrollt. Dafür muss ja ein Moment vorhanden sein, aber die Gravitationskraft greift ja im Schwerpunkt an und verursacht kein Moment. Ist das irgendwie durch eine Reibungskraft gegeben, welche von Aussen angreift? Aber sowas ist ja hier nicht gegeben.

Wenn wir mal den Energieerhaltungssatz anwenden kommt folgendes heraus:
Ekin1 + Epot = Ekin2

Da kinetische Energie aus Rotations- und Translation besteht bekommen wir folgendes:

$$ \frac{1}{2}*v_{1}^{2}+\frac{1}{2}Jω_{1}^{2}+mgh=\frac{1}{2}*v_{2}^{2}+\frac{1}{2}Jω_{2}^{2} $$

Das Problem ist ja, dass wir v1, v2 und w2 nicht kennen, aber wie kommen wir an die heran?
Ich habe mal die Gleichung für den Drehimpuls aufgeschrieben: L=Jw=r x P bzw. L=JW=r*P für 2D. Somit ergiebt sich die Gleichung: Jw=rmv welche ich dann versucht habe für v1,v2 und w2 umzustellen und einzusetzten. Allerdings ist dabei nicht das Richtige herausgekommen. Die Lösung sollte 4.43m/s sein.

Ich bin gerade total verwirrt und wäre um eine Hilfestellung sehr froh. Vielen Dank!

Answer 1

Hallo

ich verstehe die Aufgabe nicht ganz. "rollt auf die Rampe zu" heisst das oben an der Rampe ist ω gegeben oder unten?

Jetzt zum Drehmoment auf der Rampe: Der Schwerpunkt -  Mitte des Zylinders- liegt nicht senkrecht über dem Auflagepunkt, d.h. es wirkt ein Drehmoment M=mgrsin(α)

ω1 und damit v1=ω1*r sind bekannt, entsprechen v2=ω2*r

so dass in der Energiebilanz nur eine Unbekannte v2 oder ω2 auftritt,

(Reibung spielt nur als Haftreibung eine Rolle, damit der Zylinder nicht gleitet sondern wirklich rollt.)

Gruß lul

Comments

Anbei noch die vollständige Aufgabenstellung:

Zur Vorbereitung der Prüfungsendfeier rollt Alex ein Bierfass (Masse = 63.5 kg, Fasshöhe = 532 mm, Fassdurchmesser =  408 mm) von der Lastwagenladefläche (Höhe h = 1.5m) über eine Rampe auf den Boden (Höhe = 0m) hinunter. Wie schnell ist die Translationsgeschwindigkeit des Fassschwerpunkts v2 am Boden, wenn die Winkelgeschwindigkeit auf der oberen Ladefläche konstant ω1=0.25rad/s betrug?

Nehmen Sie das Fass als homogenen Zylinder an. Trägheitsmoment eines Zylinders mit Masse m und Radius R um seine Symmetrieachse: 1/2mR2

So wie ich dass verstehe haben wir für oben an der Rampe nur w1 gegeben und v1 ist unbekannt. Wir sollen für unten v2 berechnen, wobei w2 ebenfalls unbekannt ist. Somit gibt es drei Unbekannte.

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Habe die Aufgabe hinbekommen, man kann einfach mit der Formel v=w*r die jeweilige Unbekannte ersetzten und so habe ich die richtige Lösung bekommen.

Allerdings kannte ich diese Formel nur als Tangentialgeschwindigkeit. Warum kann man diese auch anwenden um die Geschwindigkeit des Schwerpunktes zu bestimmen?

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Wenn dein Fahrradreifen sich  beim Abrollen einmal dreht, wie weit kommt die Nabe= Schwerpunkt? wenns dir nicht klar ist roll einen Teller auf dem Tisch.

Answer 2

Also im Allgemeinen verstehe ich nicht warum es überhaupt zu einer Veränderung der Winkelgeschwindigkeit kommt, wenn ein Fass einen Hang hinunterrollt.

Wenn das Fass die Rampe herunterrollt, wird seine Geschwindigkeit größer und wenn es ohne Gleiten rollt, nimmt gem. v = R *ω oder ω = v / R mit der Translationsgeschwindigkeit auch die Winkelgeschwindigkeit zu.

Woraus hast du denn geschlossen, dass sich die Winkelgeschwindigkeit verändert ?

Das Problem ist ja, dass wir v1, v2 und w2 nicht kennen, aber wie kommen wir an die heran?

Da das Fass ohne Gleiten rollt, ist :

v₁ = R * ω₁

ω₂ = v₂ / R

R und ω₁ sind gegeben, also hast du nur noch eine quadratische Gleichung mit einer Unbekannten v₂, die du sicher lösen kannst. Da der negative Wert nicht infrage kommt, komme ich auf ca. 4,4297m/s.