Antwort mit KI erzeugt
Erhaltung der mittleren Energie in einem Quantensystem zeigen
Um die Erhaltung der mittleren Energie in einem Quantensystem zu zeigen, gehen wir von der Schrödingergleichung aus. Diese lautet in ihrer zeitabhängigen Form für ein Quantensystem, das durch eine Wellenfunktion \(\psi(x,t)\) beschrieben wird und unter dem Einfluss eines zeitunabhängigen Hamilton-Operators \(\hat{H}\) steht, wie folgt:
\(
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(x,t) = \hat{H}\psi(x,t),
\)
wobei \(i\) die imaginäre Einheit, \(\hbar\) das reduzierte Planck'sche Wirkungsquantum und \(\hat{H}\) der Hamilton-Operator des Systems ist.
Die mittlere Energie \(\langle H \rangle\) in diesem Quantensystem ist gegeben durch das Skalarprodukt der Wellenfunktion mit dem Hamilton-Operator, angewandt auf die Wellenfunktion, das heißt, es gilt:
\(
\langle H \rangle = \int \psi^*(x,t) \hat{H} \psi(x,t) dx,
\)
wo \(\psi^*(x,t)\) die konjugiert komplexe Wellenfunktion darstellt.
Um zu beweisen, dass \(\frac{d}{dt}\langle H \rangle = 0\), leiten wir \(\langle H \rangle\) nach der Zeit ab. Wir erhalten:
\(
\frac{d}{dt}\langle H \rangle = \frac{d}{dt}\int \psi^*(x,t) \hat{H} \psi(x,t) dx.
\)
Anwenden der Leibniz-Regel für die Differentiation unter dem Integralzeichen führt zu:
\(
\frac{d}{dt}\langle H \rangle = \int \left(\frac{\partial \psi^*(x,t)}{\partial t} \hat{H} \psi(x,t) + \psi^*(x,t) \hat{H} \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t}\right) dx.
\)
Nun setzen wir die Schrödingergleichung und ihre komplexe Konjugate ein:
\(
\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{i\hbar}\hat{H}\psi(x,t) \quad \text{und} \quad \frac{\partial \psi^*(x,t)}{\partial t} = -\frac{1}{i\hbar}\psi^*(x,t)\hat{H}.
\)
Durch Einsetzen erhalten wir:
\(
\frac{d}{dt}\langle H \rangle = \int \left( -\frac{1}{i\hbar}\psi^*(x,t)\hat{H}^2 \psi(x,t) + \frac{1}{i\hbar}\psi^*(x,t) \hat{H}^2 \psi(x,t) \right) dx.
\)
Kürzen und Vereinfachen führt zu:
\(
\frac{d}{dt}\langle H \rangle = \int \left( -\frac{1}{i\hbar} + \frac{1}{i\hbar} \right) \psi^*(x,t) \hat{H}^2 \psi(x,t) dx = 0.
\)
Damit haben wir gezeigt, dass die Änderungsrate der mittleren Energie \(\frac{d}{dt}\langle H \rangle\) in einem Quantensystem, das durch die zeitabhängige Schrödingergleichung beschrieben wird, null ist. Dies beweist die Erhaltung der mittleren Energie in einem solchen System.
