Hallo Lisa,
Die Gleichung für die Ladung des Kondensators über der Zeit hast du gegeben mit
$$Q(t) = 1,2 \cdot 10^{-3} (1 - e^{\frac{-t}{5s}}) \text{C}$$ ich habe jetzt mal unterstellt, dass hinter der \(5\) im Exponenten noch die Zeiteinheit \(\text{s}\) für Sekunden steht! Die Ableitung der Ladung nach der Zeit gibt den Strom der in oder aus dem Kondensator fließt. Es ist:
$$\dot Q(t) = I(t) = 1,2 \cdot 10^{-3}\cdot \frac{1}{5\text{s}} e^{\frac{-t}{5s}} \text{C} = 0,24 \cdot e^{\frac{-t}{5s}} \text{mA}$$ Die Einheit \(C/s\) gibt Ampere \(A\) und die \(10^{-3}\) habe ich durch den Vorsatz \(\text{m}\) für 'milli' ersetzt.
zu b): beachte die Kettenregel wie auch schon bei der ersten Ableitung $$\ddot Q(t) = -0,048 \cdot e^{\frac{-t}{5s}} \frac{\text{mA}}{\text{s}}$$
zu c): unabhängig von \(t\) haben die Größen \(Q(t)\), \(\dot Q(t)\) und \(\ddot Q(t)\) immer das gleiche Vorzeichen, da der Ausdruck \(e^x\) immer positiv ist für alle \(x\). \(Q(0)=0\) und wächst ab da an bis zu einem Wert von \(1,2 \text{mC}\), da \(t \ge 0\), ist also immer positiv. Die Stromstärke genauso, folglich wird der Kondensator geladen - das hast Du richtig erkannt. \(\ddot Q(t)\) ist negativ - was heißt, dass die Stromstärke stetig zurück geht, bis sie beliebig klein wird, aber nie auf oder unter 0 geht. In der Praxis wird man das aber nicht nachmessen können.
"Wieso habe ich bei Q(t) und der ersten Ableitung >0 und bei der zweiten Ableitung dann <0?" Na ja - warum nicht? Wenn Du Dir überlegst, was hier physikalisch passiert macht das alles Sinn (s.o.).
Gruß Werner
