Anfangsgeschwindigkeit eines Körpers auf einer schrägen Ebene

Question

Ein Körper (Masse m =400g) bewegt sich mit einer Geschwindigkeit v₀ reibungsfrei auf eine geneigte Ebene (Neigungswinkel α = 15°) zu und gleitet auf dieser eine Strecke s = 2m aufwärts bis in die gestrichelte dargestellte Position, um anschließend sofort wieder abwärts zu gleiten?

Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit v₀?

Wie lange befindet sich der Körper während seiner Bewegung auf der geneigten Ebene?

Wie groß sind der Impuls und die kinetische Energie des Körpers, wenn er sich zum Schluß wieder auf der horizontalen Ebene bewegt?

Comments

Mein Lösungsansatz:

Energieerhatungssatz:

Ekinetisch + Wbeschleunigung = Epotentiell

h = tan (α) * s = 4-2√3

v1 = ges.

v2 = 0 m/s

m = 400g

g = 9,81 m/s^2

m/2*v1^2 + m/2 * (v1^2-v2^2) = m * g * h

=> v1 = √ (g * h) = 5,257 m/s

t = ges.

t = ∫^2m_0m (v1) dm = 10,514 s

Btw. kann man überhaupt eine Geschwindigkeit nach dem Weg ableiten?! ^^

Zum dritten Aufgabenteil habe ich keine Ahnung :/

Answer 1

Hallo,

zu a) Energieerhaltung ist der richtige Ansatz, aber die Höhe berechnet sich mit
$$ h=s*sin(\alpha)$$

$$ E_{kin}=E_{pot}\\1/2mv_0^2=mgh=mgs*sin(\alpha)\\1/2v_0^2=gs*sin(\alpha)\\v_0=\sqrt{2gs*sin(\alpha)}\approx 3.18\frac{m}{s}\\$$

b) hier rechnest du am einfachsten mit der Hangabtriebskraft:

$$ F_H=-mgsin(\alpha)\\\ddot x_E=-gsin(\alpha)\\\dot x_E =-gsin(\alpha)t+v_0 $$

x_E bezeichnet dabei die Position auf Ebene , also den " zurückgelegten schrägen Weg".

Die Bewegung endet, wenn die Geschwindigkeit =0 ist

$$ \dot x_E =-gsin(\alpha)t+v_0=0\\t=\frac{v_0}{gsin(\alpha)}\approx 1.25 s $$

Nun ist aber gefragt, wie lange das Teil auf der Ebene sich befindet, das ist gerade die doppelte Zeit.

c)

Die kinetische Energie ist genau dieselbe wie am Anfang, weil bei der gesamten Bewegung Energieerhaltung gilt.

$$ E=\frac{1}{2}mv_0^2\approx 2.02 Nm $$

Der Impuls ergibt berechnet sich gemäß

$$ p=mv\approx -1.27 kgms^{-1} $$

Das Minus kommt daher, dass der Körper sich nun nach links bewegt.

Answer 2

Hallo Trischi,

zu "h = tan (α) * s = 4-2√3" - die Strecke ist nicht in der Horizontalen, sondern auf der schiefen Ebene mit \(2\text{m}\) angegeben. D.h hier ist

$$\sin \alpha = \frac{h}{2\text{m}} \quad \Rightarrow h = 2\text{m} \cdot \sin 15° =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \text{m}$$

Zu "m/2*v12 + m/2 * (v12-v22) = m * g * h" hier hast Du die kinetische Energie doppelt drin. Der Höhengewinn wird aus der Differenz der kinetischen Geschwindigkeiten gewonnen - also:

$$\frac{m}{2} \cdot (v_1^2 - v_2^2) = m \cdot g \cdot h$$ da \(v_2=0\) ist, ist

$$v_1 = \sqrt{2g\cdot h} = \sqrt{2 \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \text{m} } \approx 3,19 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$ die kinetische Energie ist \(E_{kin} = \frac12 mv^2\) oder auch gleich der potentiellen Energie am Anfang. In beiden Fällen

$$E_{kin} = m \cdot g \cdot h = 0,4 \text{kg} \cdot 9,81 \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\text{m} \approx 2,03 \text{J}$$ und der Impuls ist \(I= m \cdot v\) also:

$$I \approx 0,4 \text{kg} \cdot 3,19 \frac{\text{m}}{\text{s}} = 1,27 \text{Ns}$$

Gruß Werner