Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten S1 und S2 aus der Mechanik: -S1sin(a1)-S2sin(a2)=0 und S1cos(a1)-S2cos(a2)-G=0

Question

Hallo. In meinem Mechanik Buch sind die Rechnungen leider nicht besonders ausführlich. demnach brauche ich Hilfe.

Kann mir jemand erklären wie man von diesen Gleichungen auf diese ergebnisse kommt?

 

Kräfte in X richtung: -S₁sin(a₁)-S₂sin(a₂)=0

Kräfte in Y richtung: S₁cos(a₁)-S₂cos(a₂)-G=0

 

gesucht sind S1 und S2. Das ergebniss aus dem Buch ist:

S₁=G*sin(a2)/(sin(a1+a2)

S₂=-G*sin(a1)/(sin(a1+a2)

 

Ich verstehe nicht wie man darauf kommt.

Danke für die Hilfe!

Comments

Um den Nenner zu vereinfachen wurde bestimmt das Addionstheorem für sinus benutzt:

sin(a+b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

Jetzt klar?

---

Mein Hauptproblem ist wie man aus beiden Gleichungen S1 und S2 bestimmt.. Dieser Schritt ist für mich nicht erkennbar..


Also wie bekommt man aus zwei gleichungen die eine wo man s1 und s2 bestimmt?

Answer 1

Ich bezeichne die Variabeln neu:

-u sin(a)- v sin(b)=0

u cos(a)-v cos(b )-G=0

------------------------------

 

-u sin(a)- v sin(b)=0                   |*cos(a)

u cos(a)-v cos(b )-G=0             |*sin(a)

-------------------------------

 

-u sin(a)cos(a) - v sin(b) cos(a) =0

u sin(a) cos(a)-v sin(a) cos(b )-G*sin(a)=0

------------------------------------------------- +

                       -v(sin(b)cos(a) + sin(a) cos(b)) - G sin(a) = 0          |+ G*sin(a)

  -v(sin(b)cos(a) + sin(a) cos(b)) = G sin(a)      | Additionstheorem

- v sin(a+b) = G sin(a)           |: (-sin(a+b))

v = - G sin(a) / sin (a + b)

u kannst du nun bestimmt selbst berechnen. 

Answer 2

Wir bennennen die Unbekannten um

S1 = s ; S2 = t ; a1 = a ; a2 = b

- s·SIN(a) - t·SIN(b) = 0

Nach s auflösen

s = - t·SIN(b)/SIN(a)

Das für s in die andere Gleichung einsetzen

s·COS(a) - t·COS(b) - g = 0
(- t·SIN(b)/SIN(a))·COS(a) - t·COS(b) - g = 0
- t·COT(a)·SIN(b) - t·COS(b) - g = 0

nach t auflösen

t = - g·SIN(a)/(COS(a)·SIN(b) + SIN(a)·COS(b))
t = - g·SIN(a)/COS(a + b)

Jetzt noch in die Gleichung für s= einsetzen und vereinfachen.

s = - (- g·SIN(a)/(COS(a)·SIN(b) + SIN(a)·COS(b)))·SIN(b)/SIN(a)
s = g·SIN(b)/(COS(a)·SIN(b) + SIN(a)·COS(b))
s = g·SIN(b)/SIN(a + b)

Damit ist man fertig.