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Berechnung eines Biegemomentintegrals für Vollmaterial
Zur Anpassung der gegebenen Formel für ein Biegemoment auf Vollmaterial müssen wir die Annahme eines Hohlschnitts (definiert durch einen inneren Radius \(r_i\) und einen äußeren Radius \(r_a\)) zu einem vollen Materialstück vereinfachen. Vollmaterial bedeutet in diesem Kontext, dass wir keinen inneren Radius haben; also setzen wir \(r_i = 0\). Dadurch vereinfacht sich der Ausdruck \(\sqrt{r_{a}^{2}-y^{2}}-\sqrt{r_{i}^{2}-y^{2}}\) zu \(\sqrt{r_{a}^{2}-y^{2}}\), da \(\sqrt{r_{i}^{2}-y^{2}} = 0\), wenn \(r_i = 0\).
Somit vereinfacht sich das ideelle Biegemoment \(M_{B \text{ Ideell } P}\) für Vollmaterial zu:
\(
M_{B \text{ Ideell } P} = 4\left[\int_{0}^{r_{S}} A_{S} \cdot\left(B_{S}+\ln \left(\frac{y}{R_{t h}}+1\right)\right)^{C_{S}} \cdot y \cdot \sqrt{r_{a}^{2}-y^{2}} \cdot d y\right] + 4\left[\int_{r_{f}}^{r_{s}} A_{S} \cdot\left(B_{S}+\ln \left(\frac{y}{R_{t h}}+1\right)\right)^{C_{s}} \cdot y \cdot \sqrt{r_{a}^{2}-y^{2}} \cdot d y\right]
\)
Da das Vollmaterial keinen inneren Radius besitzt, bezieht sich die Gleichung nun ausschließlich auf die Struktur des Materials von einem Kernpunkt bis zum äußeren Radius (\(r_a\)). Die angepasste Gleichung berücksichtigt dies durch die Vereinfachung der Terme die den Innenradius betreffen.
Es ist wichtig zu beachten, dass diese Formel auf der Annahme basiert, dass das Vollmaterial homogen ist und die übrigen Bedingungen, die durch die Koeffizienten \(A_S\), \(B_S\), \(C_S\), \(r_S\), \(r_f\), und \(r_s\) sowie durch den Referenz-Dehnungsradius \(R_{th}\) beschrieben werden, unverändert bleiben.
Diese Anpassung ermöglicht die Berechnung des ideellen Biegemoments für Vollmaterial unter Verwendung der gegebenen Parameter. Für eine spezifische Materialanalyse oder zur Bestimmung genauer Werte müssen jedoch die relevanten Koeffizienten und Grenzwerte entsprechend den Materialeigenschaften und den spezifischen Bedingungen des Biegevorgangs festgelegt werden.
