Drehmoment, Drehimpuls bei starren Körpern, Verständnisfrage zur Erklärung im Buch

Question

Auf dem Bild, geht es um den "Drehimpuls und Drehmoment von starren Körpern".

Die Erklärung zum Bild:

"Berechnen wir die Komponente des Drehimpulses entlang der Drehachse des rotierenden Körpers. Wir bezeichen diese Komponente mit L_w, da die Winkelgeschwindigkeit w entlang der Drehachse verläuft. Für jeden Massepunkt des Körpers gilt:
L_i=r_i × p_i

theta ist der Winkel zwischen L_i und der Drehachse(Siehe Abbildung, theta ist nicht der Winkel zwischen r_i und p_i, der 90 ° beträgt)
Dann beträt die Komponente von L_i entlang der Drehachse
L_(iw) =r_i*r_i*cos(theta)=m_i*v_i*r_i*cos(theta)

Meine Fragen:
-Wie kommt man darauf, dass der Winkel zwischen r_i und p_i 90 ° beträgt? Für mich sieht es eher nach ca. 135° aus...

-Wo ist die Drehachse? Geht die Drehachse durch die z-Achse oder wo ist sie?
-Wie kommt man auf L_(iw) =r_i*r_i*cos(theta)=m_i*v_i*r_i*cos(theta)", woher kommt der cos(theta)?
Soll der Dunkelblaue Pfeil den Drehimpuls darstellen, müsste nicht der Winkel zwischen L_i und p_i bzw. r_i 90° betragen, da der Drehimpuls doch senkrecht zu diesen beiden Vektoren stehen muss, nach der Definition des Kreuzproduktes?

Kurz und knapp, ich verstehe die Zeichnung nicht und wiese die  Formel herleiten....
Ich würde diese Frage nicht stellen, wenn ich nicht bereits lange darüber nachgedacht hätte und würde mich über Antworten sehr freuen..

Answer 1

Hallo,

Wie kommt man darauf, dass der Winkel zwischen r_i und p_i 90 ° beträgt?

Stell die eine Ebene durch O und die Endpunkte von R_i vor, die den Zylinder halbiert. p_i verläuft senkrecht zu ihr, weil er tangential zum Deckkreis verläuft.

  Geht die Drehachse durch die z-Achse ?   Ja

-Wie kommt man auf L_iw =r_i*r_i*cos(theta)=m_i*v_i*r_i*cos(theta)",

verstehe ich auch nicht :-)

Denke dir eine Parallele zu R_i durch die Spitze von L_i . Diese schneidet die gestrichelte Linie in einem Punkt P und bildet ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen L_i und L_iw.

Deshalb gilt cos(Θ) =  L_iw / L_i 

→  L_iw = L_i • cos(Θ) = r_i • p_i • cos(Θ) = r_i • m_i • v_i • cos(Θ)

Soll der Dunkelblaue Pfeil den Drehimpuls darstellen,    Ja

Gruß Wolfgang

Comments

Hi, ich habe die Frage gestellt und mich nicht eingeloggt...danke für deine Antwort, aber ich habe leider noch einige offene Fragen.

"Stell dir eine Ebene durch O und die Endpunkte von R_i vor, die den Zylinder halbiert. p_i verläuft senkrecht zu ihr, weil er tangential zum Deckkreis verläuft."

Meintest du eig.  r_i und nicht R_i also:

Stell dir eine Ebene durch O und die Endpunkte von r_i vor, die den Zylinder halbiert. p_i verläuft senkrecht zu ihr, weil er tangential zum Deckkreis verläuft.    ?

Ich kann zwar erkennen, dass der Impuls sekrecht zu L_w (der gestrichelten Linie oder?) verläuft, aber immernoch nicht, dass der Impuls senkrecht zu r_i steht.

Ich habe den Zylinder skizziert und dabei r_i gestrichelt weiter gekennzeichnet, dass sind doch keine 90° ? Was verpeile ich hier...

auch R_i bildet keinen 90° WInkel mit p_i

 

Und wie kann theta der Winkel zwischen L_i und der Drehachse sein, wenn L_i nicht einmal bei der z-Achse ankommt? L_i muss doch sekrecht(Kreuzprodukt) zu r_i und p_i stehen, aber dass sieht hier nicht danach aus...

Und die letzte Frage, woher kommt das v entlang der z-Achse, da es sich nicht um v_i handelt?

Ich weiß das sind viel Fragen, sry

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Meintest du eig.  r_i und nicht R_i 

nein, ich meinte R_i

Ich habe den Zylinder skizziert und dabei r_i gestrichelt weiter gekennzeichnet, dass sind doch keine 90° ? Was verpeile ich hier...

Nicht L_W  steht steht senkrecht auf r_i  sonder L_i. L_w steht senkrecht auf R_i und p_i

L_i muss doch sekrecht(Kreuzprodukt) zu r_i und p_i stehen, aber dass sieht hier nicht danach aus...

Das ist doch eine perspektivische Zeichnung! da erscheinen Winkel völlig verzerrt. Das geht nur mit räumlicher Vorstellung!  Und da hast du offensichtlich erhebliche Probleme. 

Und wie kann theta der Winkel zwischen L_i und der Drehachse sein, wenn L_i nicht einmal bei der z-Achse ankommt? 

weil die Verlängerung von Li an der z-Achse ankommt (Vektoren sind frei verschiebbar)

woher kommt das v entlang der z-Achse, da es sich nicht um v_i handelt?

wenn der Zylinder sich nicht nach oben bewegt (Zusammenhang ?) kann ich mir nur vorstellen, dass es sich um einen Druckfehler handelt und die Winkelgeschwindigkeit ω gemeint ist.

Du solltest dir das von jemandem erklären lassen, der "körperlich anwesend" ist und dir das Ganze räumlich verdeutlichen kann. 

Als "letzten Versuch :-)" habe ich dir hier mal den senkrechten Schnitt durch den Zylinder hingezeichnet. Vielleicht wird es dann klarer:

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Danke, habe es verstanden. Ich glaube auch, dass das v eigentlich ein omega darstellen sollte. Mein räumliches Denken muss ich wohl verbessern.

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immer wieder gern