Hallo limonade,
Was beutet das?
Das heisst aber auch, dass sich der Impuls ändert, also muss eine Kraft auf die Kugel gewirkt haben,
dass es überhaupt möglich ist dass sich der Impuls ändert.
Somit wissen wir, dass eine Kraft gewirkt haben muss. Und diese Kraft hat beim Aufprall mit der Wand gewirkt.
Ja - der Impuls der Kugel ändert sich. Der Gesamtimpuls des Gesamtsystems bleibt aber erhalten. Da muss die Wand auch mit berücksichtigt werden. Ist \(m_w\) die Masse der Wand und \(m_k\) die Masse der Kugel sowie \(v_k\) ihre Geschwindigkeit senkrecht zur Wand, so ist der Impuls vor und nach dem Aufprall gleich. Also (voll elastischer Stoß angenommen):$$m_k v_k = -m_kv'_k + m_w v'_w \\ \implies v'_w = \frac {m_k}{m_w} (v_k+v'_k)$$Ist die Masse der Wand sehr groß gegenüber der Kugel, so wird der Faktor \(m_k/m_w\) sehr klein und damit auch die Geschwindigkeit \(v'_w\) der Wand.
Problem:
(1) Bei einer Drehbewegung ändert sich der Vektor v ständig (tangentiale Richtung) ...
Nein - das muss nicht sein. Betrachte dazu zwei gleich große Massen \(m\), die sich mit gleicher, aber entgegen gesetzter Geschwindigkeit \(v\) auf zwei parallelen geradlinigen Bahnen bewegen. Die Bahnen haben den Abstand dr Länge von \(r\). Wobei \(v\) und \(r\) Vektoren sind, die hier senkrecht zueinander stehen. Dann ist der Drehimpuls des Gesamtsystems $$L = r \times mv$$
\(r\) ist immer der Vektor vom Lotfußpunkt der Position von \(m\) auf die betrachtete Dreachse. Bewegt sich \(m\) auf einer Kreisbahn, so bewegt sich das \(r\) mit dem \(v\) mit. Und das Produkt \(r \times mv\) ändert sich dabei nicht.
Im Übrigen beschreibt so einen Gleichung wie \(L= r \times mv\) immer den momentanen Zustand eines Systems, bzw. einem Teil eines Systems. Die Gleichung macht keine Aussagen über die Veränderung nach der Zeit!
(2) Wie rechne ich L = r × p = r × mv. Wenn ich kein Kreuzprodukt verwenden will,
ich habe in manchen Fällen gesehen dass man diese Terme miteinander einfach multiplizieren kann.
Du kannst die Terme - genauer: die Längen der Vektoren - mit einander mutiplizieren, wenn die Vektoren senkrecht zu einadner stehen. Und nur dann! Oder Du bestimmst eine Projektion eines der Vektoren auf die Orthogonale des anderen und multiplizierst diese. Das entspricht in beiden Fällen dem Kreuzprodukt.
(1) Das heisst, dass die zeitliche Änderung des Drehimpulses das Drehmoment ergibt.
Das ist richtig. Genauso ist die Änderung des Impulses einer Masse mit der Zeit die Kraft, die auf die Masse wirkt.
Folglich denke ich, dass sich der Massenpunkt solange in einem Kreis bewegt bis ein Drehmoment auf ihn wirkt.
Massenpunkt ist ungünstig, da Du eine Zentripedalkraft benötigst, um einen Massenpunkt auf einer Kreisbahn zu halten.
Nehme eine Masse mit einer endlichen Ausdehnung, die demzufolge ein Trägheitsmoment besitzt. Dann ist der Drehimpuls die Summe aller Produkte \(r_i \times v_i \Delta m\). Und der bleibt erhalten, bis ein Drehmoment auf den Körper wirkt.
(2) Was passiert aber wenn ein Drehmoment auf ihn wirkt ?
Äquivalent zur Wirkung einer Kraft auf einen Massenpunkt, ändert sich der Drehimpuls. $$L_{\text{neu}} = L_{\text{alt}} + \int M \,\text{d}t$$
Frag' bitte nach, wenn was unklar ist oder Dir noch was einfällt.
Gruß Werner
