Gleichmässige beschleunigte Bewegung mit Startgeschwindigkeit, Formel umstellen

Question

I. s=( v₀+v/2)*t

II. s= v₀*t+1/2*a*t^2

III. s= (v^2-v₀^2)/2*a

Wie komme ich von der Gleichung I. Auf II.?

Und danach von II. Auf III.?

I. Konnte ich anhand des v-t- Diagrammes erschliessen. Bei II. & III. will mir das einfach nicht gelingen.

Kann mir jemand Schritt für Schritt die Umformungen aufzeigen die dazu nötig sind?

Danke schon jetzt dafür! ☺

Answer 1

Hallo,

für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung gilt:

a(t)=a

v(t)=at+v_0

s(t)=1/2 at^2 +v_0 *t , wobei s_0 =0 gewählt wurde

Wenn man nun mithilfe der zweiten Gleichung a eliminiert, hat man

a= (v-v_0)/t

s = 1/2 (v-v_0)/t *t^2 +v_0 *t

      = 1/2 vt + 1/2 v_0 *t=1/2 (v+v_0)*t

---> s= v_durchschnitt * t

Gleichung I bei dir ist meines Erachtens daher falsch.

Eliminiert man stattdessen t , so erhält man

(v-v_0)/a =t

s =1/2 a(v-v_0)^2 /a^2 +v_0 *(v-v_0)/a = [1/2 (v-v_0)^2  +v*v_0 -v_0^2 ] /a

= [1/2 v^2 +1/2 v_0^2 -v*v_0+v*v_0 -v_0^2 ]/a=[1/2 v^2 -1/2 v_0^2]/a =[v^2 -v_0^2]/(2a)

was bei dir Gleichung III entspricht.

Comments

Du sollst II aus (der korrigierten) I folgern und nicht umgekehrt.

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Ich weiß schon, aber da der Fragesteller die erste Formel vergeigt hat habe ich dies nicht gemacht. Mit den gegeben Ansätzen sollte die Umkehrung für den Fragesteller nicht weiter schwierig sein.

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sollte die Umkehrung ... nicht weiter schwierig sein.

Tatsächlich ist sie in Wirklichkeit ziemlich schwierig.

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?

s=1/2*( v_0+v)*t

v=v_0 +a*t  --> diese Gleichung darf man als gegeben nehmen oder?

s=1/2*(v_0 +v _0+a*t)*t =v_0*t + 1/2 a*t^2

Stimmt so alles???

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diese Gleichung darf man als gegeben nehmen oder?

Eigentlich nicht.

Da der Fragesteller zwar schreibt  " I. Konnte ich anhand des v-t- Diagrammes erschliessen. "  ist anzunehmen, dass er von einer linear anwachsenden Geschwindigkeit ausgehen kann. Aus diesem übergeordneten Prinzip folgt dann in der Tat sowohl I als auch II.

Das zeigt aber nicht, wie II direkt aus I gefolgert werden kann, ja es zeigt noch nicht einmal, dass so ein Schluss überhaupt möglich ist. Beispiel :  Wenn du weißt, dass eine bestimmte ganze Zahl z durch 6 teilbar ist (entspricht der linearen v(t)-Funktion), dann kannst du daraus sowohl folgern, dass z durch 2 Teilbar ist (I), als auch, dass z durch 3 teilbar ist (II), aber der Schluss von I auf II wird dir hier nicht gelingen.

Die Aufgabe bleibt also :  Wie kannst du nur aus der gegebenen Gleichung I die Gleichung II folgern ?

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Ok, also wenn ich es richtig verstehe benötigt man noch die extra Information,

dass es sich um eine gleichförmig beschleunigte Bewegung handelt, ansonsten

kann man v(t) x-beliebig wählen, Gleichung I stimmt dann aber Gleichung II ist dann nicht unbedingt erfüllt.

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benötigt man noch die extra Information  ...

Nein, diese Information kannst du aus I erschließen. (Und das nannte ich oben "ziemlich schwierig".)

Dazu musst du dir klarmachen, dass I die Differentialgleichung  
s(t) = 1/2 * (v_(0) + s'(t))*t   darstellt.  Löse sie und du hast deine Extra-Information.

PS : Ich nehme nicht an, dass diese Überlegungen vom Fragesteller verlangt werden.

Answer 2

I. s=( v0+v/2)*t
II. s= v0*t+1/2*a*t^2

Für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung gilt
v = a * t
die Strecke ist die mittlere Geschwindigkeit mal t
v(mittel) = [ v(ende) +v(anfang) ] / 2
In diesem Fall
v ( mittel ) = v (ende) / 2
v ( mittel ) = a * t / 2
s durch Beschleunigung ist
s = v ( mittel) * t
s = a * t / 2 * t
s = 1/2 * a * t^2

v0 = bereits vorhandene Geschwindigkeit
II. s = v0*t + 1/2 * a * t^2

Comments

Gleichung III wurde überprüft und stimmt vorne
und hinten nicht.
Falls möglich einmal ein Foto der Frage
einstellen

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Schau einmal unter
https://www.nanolounge.de/12332/notbremsung-integralrechnung

Aufgabenteil c.) und die Antworten an.
Dort steht vielleicht die richtige Formel

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Gleichung III wurde überprüft und stimmt vorne
und hinten nicht.

Vorne stimmt sie und hinten hat jc2144 sie längst korrigiert.