Antwort mit KI erzeugt
a) Bestimmung der analytischen Formel für H
Um die Höhe \(H\) des Hochhauses zu bestimmen, betrachten wir zwei Phasen: den Fall des Steins und die Zeit, die der Schall für die Strecke vom Boden zurück zur Dachkante benötigt.
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Fallzeit des Steins (\(t_f\)): Unter Vernachlässigung des Luftwiderstands folgt die Fallzeit des Steins aus der kinematischen Gleichung für den freien Fall:
\( H = \frac{1}{2}gt_f^2 \)
Umformung ergibt:
\( t_f = \sqrt{\frac{2H}{g}} \)
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Schallzeit (\(t_s\)): Die Zeit, die der Schall benötigt, um die Strecke \(H\) zurückzulegen, beträgt:
\( t_s = \frac{H}{c} \)
Die Gesamtzeit \(T\) vom Loslassen des Steins bis zum Hören des Schallimpulses setzt sich aus \(t_f + t_s\) zusammen:
\( T = t_f + t_s = \sqrt{\frac{2H}{g}} + \frac{H}{c} \)
Um \(H\) als Funktion von \(T\), \(g\), und \(c\) zu erhalten, lösen wir die Gleichung nach \(H\) auf. Doch bevor wir das tun, stellen wir fest, dass eine direkte Lösung analytisch mühsam ist. Stattdessen nutzen wir den gegebenen Ansatz.
b) Anwendung der Taylorentwicklung
Zunächst bedenken wir, dass die direkte Auflösung der ursprünglichen Gleichung nach \(H\) nicht trivial ist. Um den mathematischen Ausdruck zu vereinfachen, betrachten wir die Näherung für eine Quadratwurzel aus der Taylorentwicklung, die gegeben ist als:
\(
\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2
\)
Diese Näherung anzuwenden erfordert jedoch, dass wir unsere Gleichung in eine passende Form bringen, wo ein Term der Form \((1+x)\) vorliegt, um die Quadratwurzel zu vereinfachen. Das erfordert eine kreative Umformung und Annäherung, die insbesondere dann nützlich ist, wenn \(x\) sehr klein ist, d.h., die Veränderung in der Größenordnung klein gegen 1 ist.
Ein typischer Ansatz zur Vereinfachung von \(H\) über die Gleichung
\( T = \sqrt{\frac{2H}{g}} + \frac{H}{c} \)
würde daraus bestehen, zu erkennen, dass die Schallzeit (\(t_s\)) und die Fallzeit (\(t_f\)) im Vergleich die Größenordnungen ändern können, abhängig von den Werten von \(H\), \(g\), und \(c\).
Für den Grenzfall, dass \(H/c \ll \sqrt{2H/g}\), was bedeutet, dass die Schallgeschwindigkeit so hoch ist, oder die Höhe so gering ist, dass die Zeit, die der Schall braucht, um die Höhe zu überwinden, vernachlässigbar kurz im Vergleich zur Fallzeit ist, könnte man vereinfachen. Jedoch bietet unsere ursprüngliche Gleichung keine einfache Anwendung für die Taylorentwicklung ohne weitergehende Annahmen über die Beziehung zwischen \(H\), \(g\), und \(c\).
Der physische Grenzfall, für den diese Näherung gilt, ist somit der, bei dem die Rückreisezeit des Schalls so kurz im Vergleich zur Fallzeit ist, dass sie vernachlässigt werden kann, oder wenn \(H\) relativ zu \(c^2/g\) klein ist.
Ohne eine spezifische Form, in der \(H\) explizit als Funktion von \(T\), \(g\), und \(c\) dargestellt wird, und ohne weitere spezifische Annäherungen oder Vernachlässigungen, bleibt die Vereinfachung mithilfe der vorgegebenen Taylorentwicklung problematisch. Eine analytische Auflösung für \(H\) wäre in einem allgemein gültigen, nicht näherungsweise vereinfachten Fall komplex und möglicherweise nicht direkt über die Taylorentwicklung zugänglich, ohne zunächst die Abhängigkeit von \(H\) in der Gleichung in geeigneter Weise zu isolieren oder zu approximieren.
