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Erklärung zur Bewegungsgleichung für den freien Fall mit Reibung
Wenn du eine Bewegungsgleichung für den freien Fall mit Luftreibung oder einer anderen Form von Reibung anpassen möchtest, musst du tatsächlich den Reibungswiderstand \( F_w \) berücksichtigen. Die allgemeine Kraft \( F_{\text{res}} \) auf einen Körper unter Berücksichtigung der Reibung ist die Differenz zwischen der Gravitationskraft \( F_g \) und der Reibungskraft \( F_w \). Für einen fallenden Körper lautet die Kraftgleichung daher:
\( F_{\text{res}} = F_g - F_w \)
Wo:
- \( F_{\text{res}} \) ist die resultierende Kraft.
- \( F_g = m \cdot g \) die Gravitationskraft (Masse \( m \) multipliziert mit der Erdbeschleunigung \( g \)).
- \( F_w \) ist die Reibungskraft, die oft proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit \( v \) angenommen wird: \( F_w = c_w \cdot \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot v^2 \), wobei:
- \( c_w \) der Widerstandsbeiwert ist.
- \( \rho \) die Dichte des Mediums (z.B. Luft).
- \( A \) die Querschnittsfläche des Körpers senkrecht zur Bewegungsrichtung.
In deine Formel integriert, ergibt sich:
\( m \cdot g - c_w \cdot \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot v^2 = m \cdot a \)
Wobei \( a \) die Beschleunigung ist. Um die Beschleunigung zu isolieren, teilst du beide Seiten durch \( m \):
\( a = g - \frac{c_w \cdot \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot A \cdot v^2}{m} \)
Hier siehst du, dass die Beschleunigung jetzt nicht mehr konstant ist, wie im Falle des freien Falls ohne Reibung, sondern von der Geschwindigkeit \( v \) abhängt. Das bedeutet, die Beschleunigung nimmt ab, je schneller das Objekt fällt, bis eine gleichmäßige Geschwindigkeit erreicht ist, bei der die Beschleunigung null wird (dies wird als "terminal velocity" oder Grenzgeschwindigkeit bezeichnet).
Um auf deine Frage zurückzukommen: Ja, du kannst die Beschleunigung \( a \) mittels der oben gezeigten Formel unter Berücksichtigung von Reibung in deine Basisgleichung einsetzen. Das Ergebnis wird zeigen, dass die Bewegungsgleichung in Anwesenheit von Luftreibung oder einer anderen Reibungskraft eine Funktion von \( v \) und damit komplexer als die einfache Bewegungsgleichung \( S = \frac{g}{2} \cdot t^2 \) für den freien Fall ohne Luftwiderstand ist.
Für praktische Berechnungen von Position und Geschwindigkeit über die Zeit erfordert dies in der Regel den Einsatz von Integrationsmethoden, da \( v \) und damit \( a \) von der Zeit abhängen.
