Wie löse ich nach v0 auf und plotte die Bahnkurve (Schräger Wurf) ?

Question

Hallo, habe folgende Prüfungsaufgabe:

Kugelstoßer wirft seine Kugel 22,5m unter einem Winkel von 42,5° und von einer Höhe von 1,85m weit. Wie schnell ist die Abwurfgeschwindigkeit v₀ ?

Folgendes bisher ausprobiert:

Wurfweite:

$$x_{ w }=\frac { { v }^{ 2 }_{ 0 } }{ g } sin2\alpha $$

Das nach v₀ umgestellt und h = 1,85 addiert.

v₀  = 16,735 m/s

Bahngleichung:

$$y(x)=-\frac { g }{ 2{ v }^{ 2 }_{ 0 }\cdot { cos }^{ 2 }(\alpha ) } \cdot { x }^{ 2 }+x\cdot tan(\alpha )+{ y }_{ 0 }$$

nach v₀ umgestellt.

v₀ = 0,05580 m/s

Energieerhaltungssatz:

Epot = Ekin

nach v₀ umgestellt.

v₀ = 3,0123 m/s

Habe im Internet noch eine Formel gefunden in die ich alles eingesetzt habe und bei 8,72628 m/s gelandet bin. Wollte versuchen zu plotten (Bahnkurve) und dann die v einzusetzen um an den Sx Punkten zu sehen ob das Ergebnis richtig ist doch kam immer nur eine Gerade heraus?!

Bin sehr schlecht was das umstellen angeht weshalb auch sehr wahrscheinlich das Ergebnis von der Bahnkurve falsch ist.

Answer 1

Zunächst nur eine Idee mit kurzer Rechnung. 

Kontrolliere das Testergebnis mal.

sx = v·COS(α)·t --> t = s/(v·COS(α))

sy = -1/2·g·t^2 + v·SIN(α)·t + h
sy = -1/2·g·(sx/(v·COS(α)))^2 + v·SIN(α)·(sx/(v·COS(α))) + h
v = √(g·sx^2/(2·COS(α)·(sx·SIN(α) - (sy - h)·COS(α))))

v = √((9.81 m/s^2)·(22.5 m)^2/(COS(42.5°)·(2·(22.5 m)·SIN(42.5°) - (2·(0 m) - 3.7 m)·COS(42.5°))))
v = 14.26 m/s

Comments

Setzt man das in die Bahngleichung ein erhält man

~plot~ -0.04437498221x^2+0.9163311740x+1.85;0.9163311740x+1.85;[[0|24|0|18]] ~plot~

Answer 2

Hallo

Bahngleichung [... ]nach v0 umgestellt.

$$v_0 = \frac{x\cdot \sqrt{g}}{\sqrt{2}\cos(\alpha)\sqrt{x\tan(\alpha)-y+y_0}} \\v_0 = \frac{22.5\cdot \sqrt{9.81}}{\sqrt{2}\cos(42.5°)\sqrt{22.5\tan(42.5°)-0+1.85}} \\v_0 = 14,26 \frac{m}{s}$$

Plotten
$$f(v_0)=-\frac { 9.81 }{ 2\cdot{ v }^{ 2 }_{ 0 }\cdot { cos }^{ 2 }(42.5°) } \cdot {22.5 }^{ 2 } + 22.5\cdot tan(42.5°)+ 1.85 $$Manche Programme wollen unbedingt ein x als Variable. Dann ersetze einfach v₀ durch x wohl wissend, dass x = v₀ ist.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+-+9.81%2F(2*x%5E2*(cos(42.5%C2%B0))%5E2)+*+22.5%5E2+%2B+22.5+*+tan(42.5%C2%B0)+%2B+1.85

Grüße

Answer 3

Entwickeln wir die Lösung einmal Schritt
für Schritt.
Die Angaben sind
( in der Kurznotation )
f ( 0 ) = 1.85
f ´( 0 ) = tan (42.5 )
f ( 22.5 ) = 0

allgemeine Parabel
f  ( x ) = a*x^2 + b*x + c
f ´( x ) = 2 * a * x + b

Die Werte in die Gleichungen einsetzen,
es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem,
dies lösen.

Lösung

f = -0.237 * x^2 + 5.257 * x + 1.85

Hier halte ich zunächst einmal inne.
Eine Stoßhöhe von ca 30 m halte
ich für unrealistisch.

Kannst du Fehler entdecken ?
Stimmen die Angaben ?

Comments

Kannst du Fehler entdecken ?

Die Stoßhöhe beträgt (4,73+1,85)m

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Prüf mal die Bedingung 

f ´( 0 ) = tan (42.5 )

Die scheint bei deiner Funktion nicht erfüllt zu sein. ich komme auf einen Winkel von 79.23°.

PS: wenn man die Achsen richtig (gleich) skaliert, kann man diesen Fehler auch leichter in der Skizze erkennen.

~plot~ -0.237*x^2+5.257*x+1.85;[[0|40|0|30]] ~plot~

---

Hallo Coach,

Die scheint bei deiner Funktion nicht erfüllt zu sein. ich komme auf einen Winkel von 79.23°.

Danke für den Hinweis.

f = -0.0366*x^2 + 0.7418*x + 1.85

Es gibt jetzt sicherlich mehrere Möglichkeiten
weiterzurechnen.

Der Hochpunkt ist bei

f ( x ) = - 0.0366*x^2 + 0.7418*x + 1.85
f ´( x ) = -0.0366  * 2 * x  + 0.7418

-0.0366  * 2 * x  + 0.7418= 0
x =10.13 m
f ( 10.13 ) = 5.61 m

( 10.13 | 5.61 )

Fallzeit ( 5.61 ) = 1/2 * g * t^2
t = 1.07 sec

Ich muß noch etwas grübeln.

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t = 1.07 sec
In dieser Zeit legt die Kugel horizontal
eine Weg von 22.25 m minus 10.13 m =
12.12 m zurück.
Die Horizontalgeschewindigkeit beträgt
v ( horizontal ) = 12.12 m / 1.07 sec

v ( horizontal ) = 11.33 m/s

tan ( a ) = v ( vertikal ) / v ( horzontal )
tan ( 42.5 ) = v ( vertikal ) / 11.33

v ( vertkal ) = 10.38 m/s
v = √ [ v ( vertikal )^2 + v ( horzontal )^2 ]
v = 15.37 m/s

Es gibt eine Differenz zu den Ergebnissen
der anderen

Iregendwo muß dann noch ein Rechen- oder
Denkfehler stecken.

Bitte einmal überprüfen.

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Deine Bahnkurve stimmt leider immer noch nicht. Jetzt hast du einen Abwurfwinkel von 36.57°. Vergleiche mit meiner Bahnkurve in meiner Antwort. Die sollte richtig sein.

Die Bedingungen sind

f(0) = 1.85

f'(0) = tan(42.5°) = 0.9163311740

f(22.5) = 0

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Der Fehler lag beim Umrechnen von Grad in
Bogenmass

Der Rechenweg bleibt erhalten

f  = -0.04438*x^2 + 0.9163*x + 1.85
Hochpunkt
( 10.32 | 6.58 )

t = 1.16 sec
v ( horizontal ) = ( 22.5 - 10.32 ) / 1.16

v ( horizontal ) = 10.5 m /s
v ( vertkal ) = 9.62

v = 14.24 m/s
Bingo.

Answer 4

Hallo,

ich glaub hier steckt der Wurm drin:

Wurfweite:

[Formel]
Das nach v0 umgestellt und h = 1,85 addiert.

Die [Formel] gilt nur für y(0)=0 !

Ansonsten ergibt sich für die Wurfweite eine wesentlich kompliziertere Abhängigkeit vom Winkel α und Abstoßhöhe y(0) und Abstoß Geschwindigkeit v(0). Diese solltest du dir (mithilfe der Bahngleichung)  erstmal herleiten!