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a) Ausschlag \(s\) des Kügelchens
Um den Ausschlag \(s\) des Kügelchens zu berechnen, müssen wir zunächst die Kräfte auf das Kügelchen im elektrischen Feld betrachten. Das Kügelchen erfährt eine elektrische Kraft \(F_{el}\), die es in die Horizontale zieht. Diese Kraft ist gegeben durch das Produkt aus der elektrischen Feldstärke \(E\) und der Ladung \(q\):
\(F_{el} = E \cdot q\)
Setzen wir die gegebenen Werte ein:
- \(E = 70 \, \text{kN/C} = 70 \cdot 10^3 \, \text{N/C}\)
- \(q = 5,0 \, \text{nC} = 5,0 \cdot 10^{-9} \, \text{C}\)
Somit ist \(F_{el}\):
\(F_{el} = 70 \cdot 10^3 \cdot 5,0 \cdot 10^{-9} = 350 \cdot 10^{-6} \, \text{N} = 0,35 \, \text{mN}\)
Die elektrische Kraft wirkt horizontal, während die Schwerkraft \(F_{g}\) vertikal auf das Kügelchen wirkt und durch \(F_{g} = m \cdot g\) gegeben ist, wobei \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\) der Ortsfaktor ist. Die Masse \(m\) des Kügelchens muss von Gramm in Kilogramm umgerechnet werden:
\(m = 0,40 \, \text{g} = 0,40 \cdot 10^{-3} \, \text{kg}\)
Daher ist \(F_{g}\):
\(F_{g} = 0,40 \cdot 10^{-3} \cdot 9,81 = 3,924 \cdot 10^{-3} \, \text{N}\)
Das Kügelchen bildet eine resultierende Kraft, die entlang der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks wirkt, dessen eine Seite \(F_{el}\) (horizontal) und dessen andere Seite \(F_{g}\) (vertikal) ist. Der Ausschlag \(s\) ist die horizontale Entfernung, die das Kügelchen vom Faden weg bewegt wird.
Aus der Geometrie des Problems folgt, dass der Tangens des Winkels \(\theta\), den der Faden jetzt mit der Vertikale bildet, gleich dem Verhältnis von \(F_{el}\) zu \(F_{g}\) ist:
\(\tan(\theta) = \frac{F_{el}}{F_{g}}\)
Wir können die Länge \(s\) des Ausschlags mit der Länge des Fadens \(l\) und dem Winkel \(\theta\) in Beziehung setzen. Unter der Annahme, dass \(s\) klein genug ist, sodass der Winkel \(\theta\) auch klein ist (approximative Betrachtung für kleine Winkel), gilt:
\(s \approx l \cdot \tan(\theta)\)
Einsetzen der Werte ergibt:
\(s \approx l \cdot \frac{F_{el}}{F_{g}}\)
\(s \approx 1,0 \cdot \frac{0,35 \cdot 10^{-3}}{3,924 \cdot 10^{-3}}\)
Berechnung von \(s\):
\(s \approx \frac{0,35}{3,924} \approx 0,0892 \, \text{m}\)
\(s\) ist also ungefähr 8,92 cm.
b) Ladung \(q\) für doppelt so langes Pendel
Für ein Pendel doppelter Länge \(2l\) und gleichen Ausschlag \(s\) ist die Auslenkung, charakterisiert durch \(\tan(\theta)\), die gleiche. Die neue elektrische Kraft \(F'_{el}\) ist:
\(F'_{el} = E \cdot q'\)
Wo \(q'\) die neue Ladung ist. Da die Situation unverändert bleiben soll (gleiches \(\theta\) und \(s\)), aber die Länge des Pendels nun \(2l\) ist, bleibt die Beziehung für \(\tan(\theta)\) aus Teil a) dieselbe. Für ein Pendel doppelter Länge, aber gleichem \(s\), muss somit \(F'_{el}\) gleich \(F_{el}\) sein, weil sich die Gewichtskraft verdoppelt (aufgrund doppelter Länge nicht der Fall, aber das Gewicht bleibt konstant und die Betrachtung basiert weiterhin auf der Annahme konstanten \(F_g\) in Bezug auf die Auslenkung).
Folglich muss \(q' = q\) sein, um die gleiche Kraft und somit gleichen Ausschlag bei einem Pendel doppelter Länge zu erreichen, was impliziert, dass die erforderliche Ladung \(q\) unverändert bleibt, daher bleibt \(q' = 5,0 \, \text{nC}\).
Anzumerken ist, dass diese Erklärung auf simplen Annahmen und der Annahme kleiner Winkel basiert. Bei genaueren Betrachtungen, insbesondere bei größeren Ausschlägen, müssen komplexere Ansätze in Betracht gezogen werden.
