Hallo,
mach ne Skizze von einem Halbkreis. Überall auf dem Halbkreis hast du Ladungselemente dQ, die eine Kraft auf das Zentrum ausüben.
Nach Coloumb ist das
$$d\vec{F}=\frac{e_rq_0dQ}{4\pi \epsilon_0r^2}$$
Da der Ring homogen geladen ist, ist dQ=Ladung/Länge *Linienelement.
$$dQ=\frac{Q}{L}dl=\frac{Q}{\pi R}dl$$
Der Abstand zum Ring ist konstant r=R.
Um den Ring zu parametrisieren gehst du in Polarkoordinaten, der Freiheitsgrad ist der Polarwinkel φ, der läuft von 0 bis π.
Das Linienelement in Polarkoordinaten bei konstantem Radius lautet dl=Rdφ.
Und der Einheitsvektor lautet
$$e_r=\begin{pmatrix} cos(\varphi)\\sin(\varphi) \end{pmatrix}$$
Damit ergibt sich durch Integration:
$$\vec{F}=\int\vec{dF}=\int_{0}^{\pi}\frac{\begin{pmatrix} cos(\varphi)\\sin(\varphi) \end{pmatrix}q_0Qd\varphi}{4\pi \epsilon_0 \pi R^2}=\frac{q_0Q}{4\pi \epsilon_0 \pi R^2}\int_{0}^{\pi}\begin{pmatrix} cos(\varphi)\\sin(\varphi) \end{pmatrix}d\varphi=\begin{pmatrix} 0\\\frac{2q_0Q}{4\pi \epsilon_0 \pi R^2} \end{pmatrix}$$
Für das E-Feld brauchst du nur die Probeladung rauszudividieren.
