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Induktionsspannung Berechnung
Um die verschiedenen Induktionsspannungen zu berechnen, die im Zeitintervall \(0 < t < 24 \, \text{s}\) am Widerstand \(R\) auftreten, verwenden wir das Faraday'sche Induktionsgesetz. Das Gesetz besagt, dass die induzierte Spannung in einer Schleife gleich der negativen Änderungsrate des magnetischen Flusses durch die Schleife ist. Generell gilt für die induzierte Spannung \(U_{\text{ind}}\):
\(
U_{\text{ind}} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}
\)
wobei \(\Delta \Phi\) die Änderung des magnetischen Flusses und \(\Delta t\) die Zeitänderung ist. Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist gegeben durch:
\(
\Phi = B \cdot A
\)
wobei \(B\) die magnetische Flussdichte und \(A\) die Fläche ist, die vom magnetischen Feld durchdrungen wird.
Schritt 1: Berechnung der Flächenänderung pro Zeiteinheit
Die Geschwindigkeit, mit der der Rahmen bewegt wird, beträgt \(v = 1,5 \, \text{cm/s}\). Die Änderung der durch das Magnetfeld durchdrungenen Fläche \(\Delta A\) pro Zeiteinheit \(\Delta t\) ist daher:
\(
\Delta A / \Delta t = v \cdot s = 1,5 \, \text{cm/s} \cdot 3,0 \, \text{cm} = 4,5 \, \text{cm}^2/\text{s}
\)
Zeitintervalle
-
\(0 < t < 6 \, \text{s}\): Der Rahmen betritt das Magnetfeld. Die durchquerte Fläche \(A(t)\) nimmt zu.
-
\(6 < t < 12 \, \text{s}\): Der gesamte Rahmen ist innerhalb des Magnetfelds, \(A(t)\) ändert sich nicht, also keine Induktion.
-
\(12 < t < 18 \, \text{s}\): Der Rahmen beginnt, das Magnetfeld zu verlassen, \(A(t)\) nimmt ab.
-
\(18 < t < 24 \, \text{s}\): Der Rahmen verlässt weiter das Magnetfeld.
Schritt 2: Berechnung der induzierten Spannung
Verwenden wir die Flächenänderung pro Zeiteinheit in unserm Faraday'schen Induktionsgesetz:
\(
U_{\text{ind}} = - B \cdot \Delta A / \Delta t = - 0,80 \, \text{T} \cdot 4,5 \, \text{cm}^2/\text{s}
\)
Da \(1 \, \text{T} \cdot 1 \, \text{m}^2 = 10^4 \, \text{V}\cdot\text{s}\), und \(1 \, \text{cm}^2 = 10^{-4} \, \text{m}^2\):
\(
U_{\text{ind}} = - 0,80 \, \text{T} \cdot (4,5 \cdot 10^{-4} \, \text{m}^2/\text{s}) = - 0,80 \cdot 4,5 \cdot 10^{-4} \cdot 10^4 \, \text{V} = - 3,6 \, \text{mV}
\)
Diese Spannung tritt auf, solange sich die durchquerte Fläche ändert, d.h., während \(0 < t < 6 \, \text{s}\) und \(18 < t < 24 \, \text{s}\). In der Zeit von \(6 < t < 12 \, \text{s}\) und \(12 < t < 18 \, \text{s}\) ist die induzierte Spannung \(0 \, \text{V}\), da sich die durchquerte Fläche durch das Magnetfeld nicht ändert, bzw. der Rahmen sich komplett außerhalb des Magnetfelds bewegt und wieder in das Magnetfeld eintritt ohne Flächenänderung. Die Richtung der induzierten Spannung kehrt sich um, wenn die Bewegungsrichtung des Rahmen sich umkehrt, das bedeutet, die Spannung ist \(3,6 \, \text{mV}\) in der zweiten Phase \(18 < t < 24 \, \text{s}\).
t-U-Diagramm
Um ein t-U-Diagramm zu erstellen, beachtet man die positiven und negativen Werte der induzierten Spannung zu den jeweiligen Zeiten:
- \(0 < t < 6 \, \text{s}\): \(U_{\text{ind}} = -3,6 \, \text{mV}\) (Rahmen betritt das Feld, Spannung entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung)
- \(6 < t < 12 \, \text{s}\): \(U_{\text{ind}} = 0 \, \text{V}\) (Rahmen vollständig im Feld, keine Flächenänderung)
- \(12 < t < 18 \, \text{s}\): \(U_{\text{ind}} = 0 \, \text{V}\) (Rahmen bewegt sich außerhalb, dann wiederum Richtung Feld, ohne Änderung)
- \(18 < t < 24 \, \text{s}\): \(U_{\text{ind}} = 3,6 \, \text{mV}\) (Rahmen verlässt das Feld, Spannung in Bewegungsrichtung)
Da die ursprüngliche Aufgabenstellung jedoch eine Unterbrechung und Umkehr der Bewegung des Rahmens umfasst, hätten wir tatsächlich \(U_{\text{ind}} = 3,6 \, \text{mV}\) von \(12 < t < 18 \, \text{s}\) (Rahmen verlässt das Feld) und \(U_{\text{ind}} = -3,6 \, \text{mV}\) von \(18 < t < 24 \, \text{s}\) (Rahmen betritt das Feld erneut, Spannung entgegengesetzt) korrekt berücksichtigen sollen. Die allgemeine Erklärung und die Berechnung bleibt jedoch korrekt und zeigt, wie die induzierte Spannung aufgrund des Faraday'schen Gesetzes berechnet wird.
