Hallo Donaugold,
(a) Schwingungsdauer ist richtig:
$$T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0,5 \text{kg}}{12 \frac{\text{N}}{\text{m}}}} \approx 1,28 \text{s}$$
(b) Für die Auslenkung nach unten (Elongation) \(s\) gilt
$$s = \hat s \sin( \omega_0 \cdot t )$$
Die Kreisfrequenz \(\omega_0\) ist
$$\omega_0 = \sqrt{\frac{D}{m}} = \sqrt{\frac{12 \frac{\text{N}}{\text{m}}}{0,5 \text{kg}}} = 4,90 \frac{1}{\text{s}}$$
Dann ist die Auslenkung nach \(1,2\text{s}\)
$$s(1,2\text{s}) = 10 \text{cm} \cdot \sin\left( 4,90 \frac{1}{\text{s}} \cdot 1,2\text{s}\right) \approx -3,93 \text{cm}$$
negatives \(s\) bedeutet, dass sich der Körper oberhalb der Ruhelage befindet. Die Geschwindigkeit \(v\) ist die Ableitung nach der Zeit
$$v(1,2\text{s}) = \hat s \omega_0 \cos( \omega_0 \cdot t ) = 0,1 \text{m} \cdot 4,90 \frac{1}{\text{s}} \cdot \cos\left( 4,90 \frac{1}{\text{s}} \cdot 1,2 \text{s}\right) \approx 0,45 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$
Und die Beschleunigung \(a(t)\) ist die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit.
$$a(\text{s}) = -\hat s \omega_0^2 \sin( \omega_0 \cdot t ) = -0,1\text{m} \cdot \left( 4,90 \frac{1}{\text{s}}\right)^2 \sin \left( 4,90 \frac{1}{\text{s}} \cdot 1,2 \text{s}\right) \approx 0,944 \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$$
Die Beschleunigung ist positiv (nicht negativ), dass heißt, der Körper wird nach unten beschleunigt.
(c) Die Rückstellkraft nach \(1,2\text{s}\) ist
$$F= -D \cdot s(1,2\text{s}) = -12 \frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot (-3,93 \text{cm}) = 0,47\text{N}$$
positive Kraft bedeutet hier, dass die Kraft den Körper nach unten zieht - genauer die Federkraft ist kleiner als die Gewichtskraft.
In der Amplitude ist die Auslenkung \(s=\hat s = 0,1\text{m}\).
$$F_{\max} = D \cdot \hat s = 12 \frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot 10 \text{cm} = 1,2\text{N}$$
(d) geht wieder über die Energieerhaltung
$$\frac12 D \cdot \hat s^2 = \frac12 m \cdot v_{\max}^2 \quad \Rightarrow v_{\max} = \sqrt{\frac{D}{m}} \cdot \hat s = \omega_0 \cdot \hat s \approx 0,49 \frac{\text{m}}{\text{s}}$$
$$E_{\text{kin}} = \frac12 m\cdot v^2 = E - \frac12 D \cdot s^2 = \frac12 D \cdot \hat s^2 - \frac12 D \cdot s^2$$
$$\space \Rightarrow v = \omega_0 \sqrt{\hat s^2 - s^2} = 4,90 \frac{1}{\text{s}} \sqrt{ \left( 0,1 \text{m}\right)^2 - \left( 0,08 \text{m}\right)^2 } \approx 0,29 \frac{\text{m}}{\text{s}} $$
Gruß Werner
