Spannung einer Schraube berechnen (Physik)

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine M20 x 2,5 Schraube mit der Länge 200mm. Diese wird nach Anschlag um 0,25 Umdrehungen angezogen.

Gesucht ist die Spannung im Schraubenschaft.

Mein Ansatz:

- Schraube Durchmesser: 20mm

- Abstand Gewindelängen : 2.5 mm

- 0,25 Umdrehungen: 0,625mm in axialer richtung

Spannung = F/A
A = (π\4)·d²
F = ?

Das Ergebnis wurde vom Prof auch schon gegeben: 268 N/mm²

PS: In der Aufgabe wird eine Hülse mit 3mm Wanddicke über die Schraube gezogen. Die Spannungen sollen aber für die Hülse und die Schraube allein bestimmt werden.

Comments

Es fehlt noch die Angabe des Abstands $a$ zwischen Schraubenkopf und dem Beginn der Mutter oder der Gewindebohrung - je nachdem wo sie eingeschraubt ist.

Sowie solltest Du noch das Material oder den Elastizitätsmodul $E$ nennen. Davon ist dann die erreichte Spannung $\sigma$ unmittelbar abhängig:

$$\sigma = E \cdot \epsilon = E \cdot \frac{0,625 \text{mm}}{a}$$

.. gilt natürlich nur dann, wenn das umgebende Material (die Hülse?) nicht nachgibt. Eine Zeichnung wäre hilfreich.

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Leider komme ich immernoch nicht auf die lösung

E Modul ist: 210000

Answer 1

.. achso! Die Hülse ist 200mm lang und nicht die Schraube - die muss länger sein, sonst bekommt man die Mutter nicht drauf!

Der Querschnitt $A_S$ der Schraube (unter Vernachlässigung des Gewindes!) ist

$$A_S= 10^2 \text{mm}^2 \cdot \pi$$

und der Querschnitt $A_H$ der Hülse ist

$$A_H = (10+3)^2 \text{mm}^2 \cdot \pi - A_S =69\text{mm}^2 \cdot \pi$$

$E$ ist für beide gleich, da gleiches Material. $\sigma_S$ sei die Spannung in der Schraube und $\sigma_H$ die in der Hülse. Und $\epsilon_S$ ist die relative Dehnung der Schraube und $\epsilon_H$ die relative Stauchung der Hülse. Es gilt:

$$F = A \cdot \sigma = A \cdot E \cdot \epsilon \quad \Rightarrow A_S \cdot E \cdot \epsilon_S = A_H \cdot E \cdot \epsilon_H$$

Weiter gilt, dass $\epsilon_S + \epsilon_H=0,625/200=3,125\cdot 10^{-3}$ ist. Dies oben einsetzen:

$$A_S \cdot \epsilon_S = A_H \cdot (3,125\cdot 10^{-3} -\epsilon_s) \\ \quad \Rightarrow 100\epsilon_S = 69 (3,125 \cdot 10^{-3} - \epsilon_S) \space \Rightarrow \epsilon_S\approx 1,276 \cdot 10^{-3}$$

und die Spannung in der Schraube

$$\sigma_S = E \cdot \epsilon_S = 210000 \frac{\text{N}}{\text{mm}^2} \cdot 1,276 \cdot 10^{-3} \approx 268 \frac{\text{N}}{\text{mm}^2}$$

Comments

Hallo Werner,
deine Antwort ist fantastisch !
Wo lernt man sowas ? Bauingenieur ?

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Danke für das Kompliment - kein Bauing. sondern Maschinenbauer. Ist aber eher eine Standardaufgabe ... also nix besonderes.

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Für mich war das eine Frage wie :
ein Schiff ist 123 m lang und 34 m breit.
Wie alt ist der Kapitän ?