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a) Aufstellung der Lagrangefunktion und Euler-Lagrange Gleichungen
Für die Bewegung der Kugeln entlang der \(x\)-Achse können wir die kinetische Energie (\(T\)) und die potentielle Energie (\(V\)) der Kugeln berücksichtigen, um die Lagrangefunktion \(\mathcal{L} = T - V\) aufzustellen. Die kinetische Energie einer Kugel \(i\) mit der Masse \(m\) und Geschwindigkeit \(\dot{x}_i\) ist \(\frac{1}{2} m \dot{x}_i^2\), und die potentielle Energie zwischen zwei benachbarten Kugeln \(i\) und \(i+1\) mit der Federkonstanten \(D\) und dem Abstand \(d = x_{i+1} - x_i\) ist \(\frac{1}{2} D (d - d_0)^2\).
Daher können wir die Lagrangefunktion für die Kugeln 1 bis \(N-1\) wie folgt schreiben:
\(
\mathcal{L} = \sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{2}m\dot{x}_i^2 - \sum_{i=0}^{N-1} \frac{1}{2} D (x_{i+1} - x_i - d_0)^2
\)
Die Euler-Lagrange-Gleichungen erhalten wir, indem wir die partielle Ableitung der Lagrangefunktion nach \(x_i\) und deren Zeitableitung gleichsetzen. Für eine Koordinate \(x_i\) der Kugel \(i\) gilt:
\(
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{x}_i}\right) - \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_i} = 0
\)
Daraus folgt für jede Kugel \(i=1, \ldots, N-1\):
\(
m\ddot{x}_i = D[(x_{i+1} - x_i - d_0) - (x_i - x_{i-1} - d_0)]
\)
Das sind die \(N-1\) Euler-Lagrange Gleichungen für die Bewegung der Kugeln.
b) Lösung der Gleichungen mit dem gegebenen Ansatz
Der Ansatz für \(x_n(t)\) lautet:
\(
x_n(t) = x_n^0 + \text{Re}[a e^{ikx_n^0 - i\omega t}]
\)
mit \(x_n^0 = L\frac{n}{N}\) und \(a \in \mathbb{C}\). Setzen wir diesen Ansatz in die Bewegungsgleichungen ein, ergeben sich die charakteristischen Frequenzen \(\omega\).
Die Periodizität und die Randbedingungen legen die möglichen Werte für \(k\) fest. Für eine Kette gefesselt am Anfang und am Ende gilt, dass \(k\) Werte annehmen muss, die sich aus der Bedingung \(\sin(kL) = 0\) ergeben, was \(k = \frac{m\pi}{L}\) für \(m = 0, 1, \ldots, N\) impliziert. Daraus folgen spezifische \(\omega\)-Werte, oft in der Form \(\omega = \sqrt{\frac{D}{m}}|k|\), abhängig vom spezifischen physikalischen System und den Annahmen, die für die Näherung gemacht wurden.
c) Lagrangefunktion und Euler-Lagrange Gleichungen für Bewegungen in \(x\) und \(y\)-Richtungen
Bei kleinen Auslenkungen in \(x\) und \(y\)-Richtung müssen wir die Änderungen im Abstand zwischen Kugeln basierend auf beiden Auglenkungskomponenten berücksichtigen. Die quadrierten Differenzen können bis zur zweiten Ordnung genähert werden, d.h., \((\Delta x)^2 + (\Delta y)^2\approx (d_0 + \epsilon)^2\), wobei \(\epsilon\) die Änderung der Länge der Feder ist.
Die Lagrangefunktion enthält jetzt kinetische Terme für Bewegungen in beiden Richtungen und potentielle Terme, die die Federkräfte in zwei Dimensionen repräsentieren.
Für die kinetische Energie in beiden Richtungen gilt:
\(
\mathcal{L}_T = \sum_{i=1}^{N-1} \frac{1}{2}m(\dot{x}_i^2 + \dot{y}_i^2)
\)
Die potentielle Energie, die nun kleine Auslenkungen in \(x\) und \(y\) beinhaltet, kann geschrieben werden als:
\(
\mathcal{L}_V = -\sum_{i=0}^{N-1} \frac{1}{2} D ((x_{i+1} - x_i)^2 + (y_{i+1} - y_i)^2 - d_0^2)
\)
Die Euler-Lagrange-Gleichungen werden dann ähnlich abgeleitet wie im eindimensionalen Fall, berücksichtigen jedoch die Beiträge von Auslenkungen in beiden \(x\) und \(y\) Richtungen für die \(N-1\) Kugeln.
