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Bestimmung der Kräfte und der elektrischen Feldstärke
Zur Berechnung der Gesamtkraft und der elektrischen Feldstärke verwenden wir das Coulomb-Gesetz, welches die elektrische Kraft zwischen zwei Punktladungen beschreibt:
\(
F = k \frac{{|Q_1 Q_2|}}{{r^2}}
\)
wobei \(k\) die Coulomb-Konstante ist (\(k = 8,987 \times 10^9 \, \text{Nm}^2/\text{C}^2\)), \(Q_1\) und \(Q_2\) die Ladungen und \(r\) der Abstand zwischen diesen.
1. Betrag der Gesamtkraft, die durch Ladung \(Q_1\) auf \(Q_0\) ausgeübt wird
Gegeben ist:
- \(|Q_1| = |Q_0|\)
- \(Q_1\) ist negativ und \(Q_0\) ist positiv
- \(r_1\) ist der Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_0\)
Wir verwenden das Coulomb-Gesetz, um die Kraft zu berechnen:
\(
F_1 = k \frac{{|Q_0 Q_1|}}{{r_1^2}}
\)
Da \(|Q_0| = |Q_1|\), können wir für \(Q_0 = Q_1 = Q\) setzen, und da \(Q_1\) negativ und \(Q_0\) positiv ist, ist die Kraft zwischen ihnen anziehend, aber wir berechnen nur den Betrag, daher ignorieren wir das Vorzeichen:
\(
F_1 = k \frac{{Q^2}}{{r_1^2}}
\)
2. Betrag der Gesamtkraft, die durch Ladung \(Q_2\) auf \(Q_0\) ausgeübt wird
Gegeben ist:
- \(Q_2\) und \(Q_0\) sind beide positiv
- \(r_2\) ist der Abstand zwischen \(Q_2\) und \(Q_0\)
Da \(|Q_2| = |Q_0|\), verwenden wir erneut das Coulomb-Gesetz:
\(
F_2 = k \frac{{Q^2}}{{r_2^2}}
\)
Da \(|r_2| = |r_1|\), folgt dass \(F_2 = F_1\).
3. Elektrische Feldstärke am Ort von \(Q_0\)
Die elektrische Feldstärke \(E\) an einem Punkt ist definiert als:
\(
E = \frac{F}{Q_0}
\)
wobei \(F\) die Gesamtkraft auf die Ladung \(Q_0\) darstellt.
Da aber im Fall von \(Q_2\), eine gleich große Kraft wie von \(Q_1\) aber in entgegengesetzter Richtung wirkt, heben sich die Kräfte in der x-Richtung auf. Nur die vertikalen Komponenten der Kräfte aufgrund der Positionen von \(Q_1\) und \(Q_2\), die symmetrisch sind, tragen zur Gesamtkraft in y-Richtung bei.
Wenn wir den Abstand zwischen \(Q_1\) und \(Q_0\) als \(r_1\) bezeichnen, und den Winkel zwischen der Linie, die \(Q_1\) und \(Q_0\) verbindet, und der horizontalen Achse als \(\theta\), dann können wir sagen, dass \(F_{y} = F_1 \sin(\theta)\), weil \(F_1 = F_2\) und ihre Komponenten in y-Richtung gleich und in die gleiche Richtung sind.
Ohne spezifische Angaben zu den Abständen oder Winkeln können wir die exakte Berechnung der Feldstärke nicht durchführen. Jedoch können wir anmerken, dass, wenn wir die Komponenten kennen würden, die elektrische Feldstärke am Ort \(Q_0\) als Summe der Beiträge von \(Q_1\) und \(Q_2\) in die y-Richtung berechnet werden könnte.
Die gesuchte elektrische Feldstärke am Ort von \(Q_0\) wäre demnach:
\(
E_{y} = \frac{F_y}{Q_0}
\)
wobei \(F_y = 2F_1 \sin(\theta)\), da sowohl \(Q_1\) als auch \(Q_2\) zur y-Komponente beitragen und angenommen, dass der Einfluss nur in y-Richtung zählt für die gesuchte elektrische Feldstärke.
