Trägheitstensor eines dünnen Stabes

Question

Guten Abend,

ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter und hoffe das ihr mir weiterhelfen könnt.

Aufgabe: Berechne den Trägheitstensor in Diagonalform eines homogenen Stabes der Länge L und der Dicke 0

Ich lege die Achse durch den Mittelpunkt Mittelpunkt.

Die Gleichung um die einzelnen Tensorelemente zu bestimmen ist mir bekannt. Die Rechnung vereinfacht sich da ich nur die Elemente auf der Diagonalen besimmen muss, d.h. T_xx,T_yy,T_zz

Ich weiß nicht wie ich das Volumen Integral umschreiben soll, wegen der Dicke 0, d.h. z=0

Könnte mir bitte jemand detailliert erklären wie ich diese Aufgabe löse

Answer 1

Hallo,

ich lege den Stab durch die z-Achse. Da er die Dicke 0 hat, befinden sich nur Massepunkte bei x=y=0, -L/2<=z<=L/2

Normalerweise ist die Dichteverteilung so etwas wie ρ=m/V (bei Homogenität). Da der Stab unendlich dünn ist, ist sein "Volumen" einfach seine Länge, ρ=m/L .

Jetzt zum Integral. Machen wir mal als Beispiel  T_xx.

T_xx=∫_V ρ*(y^2+z^2)dxdydz Da sich die Massepunkte nur bei x=y=0 befinden, kann man im Integral x und y gleich 0 setzen und die Integration über diese Variablen weglassen (mathematisch kann man das mithilfe von Delta-Distributionen ausdrücken, weiß nicht ob ihr das bereits kennengelernt habt).

--> T_xx=∫_-L/2^L/2 ρ*z^2 dz Die Grenzen von z sind klar, weiter oben und unten ist der Stab zu Ende.

=L^3*ρ/12=L^2*m/12

Comments

Hallo,

vielen Dank für deine Antwort. Du hast den Stab durch die z-Achse gelegt, d.h. dass ich nur die Diagonalelemnte des Trägheitstensors berechnen muss weil die anderen Elemente 0 sind oder?

Nach deiner Rechnung währen T_xx=T_yy und T_zz = Integral_V (rho * x^2 + y^2) dx dy dz  =0 ? weil x^2=y^2=0.

Ps:Ich bin neu hier und kenne den Befehl nicht um eine MathematischeUmgebung (z.B. [latex] [/latex]) zu erzeugen.

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Die Formelzeichen kannst du im Editor schreiben, wenn du oben auf das große Omega drückst.

Ja T_xx und T_yy sind aufgrund  der Symmetrie gleichgroß und T_zz ist 0.

Die Nebendiagonalelemente der Matrix werden auch 0, weil dort Faktoren wie xz oder xy  im Integral auftreten, und da x=y=0 verschwinden diese.

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Super, vielen Dank für deine Hilfe.