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Berechnung der Zugkraft des Seils
Für diese Fragestellung nehmen wir an, dass das System im Gleichgewicht ist, das heißt, die Summe aller Kräfte ist Null. Der Mann zusammen mit dem Brett übt durch sein Gewicht eine Kraft nach unten aus, die durch die Seilkraft kompensiert werden muss, damit er sich nicht bewegt. Wenn das Seil über eine Umlenkrolle geht und beide Enden des Seils genutzt werden, um das Gewicht zu halten, teilt sich die Last auf beide Seilabschnitte auf.
Erster Teil: Ein Mann zieht sich und das Brett nach oben
Um die Zugkraft (\(F_{\text{Seil}}\)) zu berechnen, bezeichnen wir die Gewichtskraft des Mannes und des Bretts zusammen als \(F_{\text{G}}\).
Wenn das Seil direkt am Brett befestigt ist und über eine Umlenkrolle läuft, dann trägt jedes Ende des Seils die Hälfte der Last. Das bedeutet:
\(F_{\text{G}} = 2 \cdot F_{\text{Seil}}\)
Um \(F_{\text{Seil}}\) zu finden, lösen wir nach \(F_{\text{Seil}}\) auf:
\(F_{\text{Seil}} = \frac{1}{2}F_{\text{G}}\)
Die maximale Zugkraft, die das Seil aushalten muss, damit der Mann sich und das Brett hochziehen kann, ist also die Hälfte seines Gesamtgewichts.
Zweiter Teil: Befestigung des Seils an einer Hauswand
Jetzt wird das zweite Ende des Seils, anstelle von festgehalten zu werden, an der Hauswand befestigt. In diesem Fall wirkt die volle Gewichtskraft auf das Seil, da es nicht mehr auf zwei Abschnitte verteilt wird, sondern das ganze Gewicht von einem Seilabschnitt an der Wand aufgenommen wird.
Daher muss das Seil in der Lage sein, die gesamte Kraft \(F_{\text{G}}\) zu tragen.
Um zu überprüfen, ob ein Seil, das eine maximale Zugkraft von 1,5-mal der maximalen Zugkraft (\(1,5 \cdot F_{\text{max}}\)) aushält, hier ausreichend ist, vergleichen wir \(F_{\text{G}}\) mit \(1,5 \cdot F_{\text{max}}\).
Da \(F_{\text{Seil}} = \frac{1}{2}F_{\text{G}}\) für den Aufzug gilt, ist \(F_{\text{G}} = 2 \cdot F_{\text{Seil}}\). Wenn das Seil eine maximale Zugkraft von \(F_{\text{max}}\) hat, während ein Mann sich hochzieht, dann beträgt die notwendige maximale Zugkraft, um das Gewicht an der Wand zu tragen, \(F_{\text{G}}\), was doppelt so groß ist wie \(F_{\text{Seil}}\).
Folglich, wenn das Seil eine maximale Zugkraft von \(1,5 \cdot F_{\text{max}}\) hat, und \(F_{\text{max}}\) hier die situative Maximalbelastung bezeichnet, ausreichend für das vollständige Gewicht des Mannes und des Bretts ist, dann
\(1,5 \cdot F_{\text{max}} > F_{\text{G}}\)
\(1,5 \cdot 2 \cdot F_{\text{Seil}} > 2 \cdot F_{\text{Seil}}\)
was offensichtlich nicht korrekt ist. Die korrekte Interpretation unter Annahme, dass \(F_{\text{max}} = F_{\text{Seil}}\), wäre, dass das Seil tatsächlich 1,5-mal das Gewicht des Mannes und des Bretts (\(1,5 \cdot F_{\text{G}}\)) aushalten können muss, nicht \(1,5\) mal die anfänglich berechnete maximale Zugkraft (\(1,5 \cdot \frac{1}{2}F_{\text{G}}\)).
In diesem Szenario ist die erforderliche Zugkraft daher unzureichend beschrieben. Um die Sicherheit zu gewährleisten, sollte das Seil in der Lage sein, mindestens das gesamte Gewicht (\(F_{\text{G}}\)) zu tragen, ohne dass zusätzliche Faktoren wie die Festigkeit der Umlenkrolle oder der Befestigungspunkt des Seils an der Wand berücksichtigt werden. Wenn \(1,5F_{\text{max}}\) sich auf die ursprüngliche Situation bezieht, wo \(F_{\text{max}} = \frac{1}{2}F_{\text{G}}\), dann müsste für ausreichende Sicherheit das Seil mindestens der vollen Gewichtskraft (\(F_{\text{G}}\)) standhalten, was im Kontext der Befestigung an der Wand die neue Mindestanforderung darstellt.
