Wie finde ich bei dieser Aufgabe die kinetische Energie? (x=-s, y=r*sin(φ), z=r*(1-cos(φ))

Question

(x=-s, y=r*sin(φ), z=r*(1-cos(φ)). Ich weiß, dass die kinetische Energie 1/2*m*x'²+1/2*m*y'²+1/2*m*z'² sein muss, aber wie soll ich hier zeitlich ableiten? s und φ sind hier die generalisierten Koordinaten, der Radius r soll konstant sein.Es geht darum, bei einem Problem die Lagrangefunktion L= T+ V aufzustellen.

Comments

Was meinst du mit "s und φ sind hier die generalisierten Koordinaten " ?

Sind die beide von t abhängig und es ist nicht bekannt wie?

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 s und φ sind von t abhängig. Ziel ist es die Bewegungsleichung aufzustellen, dazu braucht man die Lagrangefunktion.

Answer 1

Hallo,

L=T-V

X(t)=(-s(t),r*sin(φ(t)),r*(1-cos(φ(t))))

Die Ableitung machst du mit Kettenregel (r=const.)

X'(t)=(-s',r*φ'*cos(φ),r*φ'*sin(φ))

X'(t)^2=s'^2+r^2*φ'^2*cos(φ)^2+r^2*φ'^2*sin(φ)^2=s'^2+r^2*φ'^2

Ich gehe mal davon aus, dass V=0, da du dazu keine Angaben gemacht hast.

--> L=T=1/2*m*(s'^2+r^2*φ'^2)

Comments

Dankeschön! Doch, V ist da, da bei dem Problem die Gravitationskraft in z-Richtung wirkt habe ich V= -mgr*(1-cos(φ)) gesetzt. Für die Bewegungsgleichungen muss ich jetzt einfach 1. d/dt*(δL/δs')-(δL/δs) und 2. d/dt*(δL/δφ')-(δL/δφ) bestimmen und jeweils 0 setzen, oder?

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Das Gravitationspotential  hat eigentlich ein positives Vorzeichen +m*g*h=m*g*r*r*(1-cos(φ))

Dann würde L=1/2*m*(s'²+r²*φ'²)-m*g*r*r*(1-cos(φ)) lauten.

Die Bewegungsgleichungen bestimmst du dann mit den von dir genannten Gleichungen.

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In der Aufgabenstellung steht "die Gravitationskraft -m*g*e_z wirkt entlang der negativen z-Achse", deswegen hab ich jetzt das Minus übernommen. Wieso muss es, unabhängig vom Vorzeichen, m*g*r*r*(1-cos(φ)) und nicht m*g*r*(1-cos(φ)) sein?

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Ja, die Kraft zeigt in entgegengesetzter Richtung.

Es gilt allgemein F=-d/dx V für eindimensionale Probleme.

Deshalb hat das Potential ein positives Vorzeichen. 

Bei dem  r hab ich mich verdrückt, es soll nur einmal da sein.