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Berechnung der Beschleunigung des Massenmittelpunkts
Zuerst legen wir die Notation fest: Die Massen der beiden Klötze bezeichnen wir als \(m_1\) und \(m_2\), und die Masse des festen Zylinders als \(m_Z\). Die Gravitationsbeschleunigung ist \(g\).
Da das Seil reibungsfrei über den Zylinder gleitet und sich der Zylinder selbst nicht dreht, können wir das System als zwei Massen \(m_1\) und \(m_2\), die durch ein Seil verbunden sind, vereinfachen. Die Beschleunigung \(a\) des Systems hängt von der Differenz der Kräfte auf die beiden Massen ab.
Die Gesamtkraft aufgrund der Gravitation, die auf die Massen \(m_1\) und \(m_2\) wirkt, ist \(m_1g\) nach unten für \(m_1\) und \(m_2g\) nach unten für \(m_2\). Wenn wir annehmen, dass \(m_1 > m_2\), wird die resultierende Beschleunigung \(a\) des Systems zur Seite von \(m_1\) gerichtet sein.
Für die Berechnung der Beschleunigung betrachten wir die Differenz der Gewichtskräfte, die die resultierende Kraft \(F\) auf das System erzeugt, und setzen sie gleich der resultierenden Masse mal Beschleunigung, \(F = (m_1 + m_2 + m_Z)a\), wobei \(m_Z\) als Teil der gesamten trägen Masse inkludiert wird, da es zur Gesamtmasse des Systems beiträgt.
Beachten Sie jedoch, dass in der oben gestellten Aufgabe sich der Zylinder nicht dreht und keine weitere Erklärung zur Rolle des Zylinders im Kontext der Beschleunigung gegeben wurde. In einer typischen Atwoodschen Maschine wird die Beschleunigung nur von den Massen \(m_1\) und \(m_2\) und nicht von der Masse des Zylinders \(m_Z\) beeinflusst, weil der Zylinder in der idealisierten Form dieses Problems keinen Beitrag zur dynamischen Interaktion leistet (kein Drehmoment und keine Rotationsenergie). Die Masse des Zylinders \(m_Z\) wird daher in der Berechnung der Beschleunigung wegen der reibungsfreien Annahme und der Tatsache, dass sie sich nicht dreht, nicht berücksichtigt.
Die tatsächliche resultierende Kraft \(F\) aufgrund der Gewichtsdifferenz ist \(F = m_1g - m_2g = (m_1 - m_2)g\). Diese Kraft verursacht die Beschleunigung der beiden Massen \(m_1\) und \(m_2\) (ohne \(m_Z\), da es sich nicht bewegt oder dreht). Nun können wir mit dem zweiten Newtonschen Gesetz setzen:
\(
F = (m_1 - m_2)g = (m_1 + m_2)a
\)
Lösen wir diese Gleichung nach \(a\) auf:
\(
a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}
\)
Berechnung der Kraft F
Die Kraft \(F\) des Trägers auf das System kann als die Summe der vertikalen Kräfte betrachtet werden, um das gesamte System zu unterstützen. Diese Summe würde die Gewichte von \(m_1\), \(m_2\) und \(m_Z\) beinhalten, also:
\(
F = m_1g + m_2g + m_Zg = (m_1 + m_2 + m_Z)g
\)
Berechnung der Zugspannung \(F_S\) auf das Seil
Die Zugspannung \(F_S\) im Seil ist gleich der Kraft, die notwendig ist, um \(m_2\) (angenommen, es ist die leichtere Masse) zu beschleunigen und ihr entgegengesetzt der Schwerkraft zu wirken:
\(
F_S = m_2(g - a)
\)
Einsetzen der Beschleunigung \(a\) ergibt:
\(
F_S = m_2\left(g - \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2}\right) = m_2g \cdot \frac{m_1 + m_2 - (m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} = m_2g \cdot \frac{2m_2}{m_1 + m_2}
\)
Um zu zeigen, dass \(F = m_Zg + 2F_S\), setzen wir den Ausdruck für \(F_S\) ein:
\(
2F_S = 2m_2g \cdot \frac{2m_2}{m_1 + m_2}
\)
Das führt zu einer Diskrepanz, da die Aufgabenstellung suggeriert, dass eine direkte Beziehung zwischen \(F\), \(m_Zg\), und \(2F_S\) besteht, basierend auf unserer vorherigen Berechnung von \(F_S\). Die Einbeziehung von \(m_Z\) in die Gleichung von \(F\) entspricht der Unterstützungskraft, hat aber keinen direkten Einfluss auf die Zugspannung \(F_S\), die primär von den Massen \(m_1\) und \(m_2\) abhängt. Daher entspricht die Gleichung \(F = m_Zg + 2F_S\) nicht direkt unseren Berechnungen, außer man interpretiert die Zugspannung im Kontext des Gewichts des Zylinders, was eine zusätzliche Erörterung über den mechanischen Aufbau und die Kräftebeziehung erfordern würde, die in der ursprünglichen Fragestellung nicht vollständig geklärt wird.
