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Geschwindigkeit in der Gleichgewichtslage
Um die Geschwindigkeit der Masse in der Gleichgewichtslage zu bestimmen, nutzen wir den Energieerhaltungssatz der Mechanik. Dieser besagt, dass die Gesamtenergie in einem abgeschlossenen System konstant bleibt, solange keine äußeren Kräfte Arbeit verrichten. Die Gesamtenergie setzt sich zusammen aus der kinetischen Energie \(E_{\text{kin}}\), der potentiellen Energie \(E_{\text{pot}}\) und der Spannenergie \(E_{\text{s}}\).
Für diese Aufgabe nehmen wir an, dass die höchste und tiefste Punkte die Extreme der Bewegung sind und dass in der Gleichgewichtslage keine Spannenergie vorhanden ist (oder dass diese konstant bleibt und für unsere Berechnung der Geschwindigkeit irrelevant ist).
In der Gleichgewichtslage ist die potentielle Energie am kleinsten (hier als \(E_{\text{pot} = 0}\) angesetzt), und die kinetische Energie ist an diesem Punkt maximal. Die Gesamtenergie im oberen Punkt entspricht der potentiellen Energie, da hier die kinetische Energie Null ist und nur die potentielle Energie \(E_{\text{pot}}\) vorhanden ist, die wie oben beschrieben mit \(1 \text{ kg} \times 9,81 \text{ N/kg} \times 0,67 \text{ m} \approx 6,573 \text{ Nm}\) gegeben ist. Diese Gesamtenergie entspricht auch der Summe aus kinetischer und potentieller Energie in der Gleichgewichtslage.
Geschwindigkeit berechnen
Da die Gesamtenergie im System konstant bleibt und in der Gleichgewichtslage \(E_{\text{pot}} = 0\) ist, wird die gesamte Energie in kinetische Energie umgewandelt:
\(
E_{\text{gesamt}} = E_{\text{kin}} = \frac{1}{2}m v^2
\)
wobei \(m\) die Masse ist und \(v\) die Geschwindigkeit. Da uns \(E_{\text{gesamt}} = 6,573 \text{ Nm}\) und die Masse \(m = 1 \text{ kg}\) bekannt sind, können wir \(v\) berechnen:
\(
6,573 \text{ Nm} = \frac{1}{2} \times 1 \text{ kg} \times v^2
\)
Nun lösen wir die Gleichung nach \(v\) auf:
\(
v^2 = \frac{2 \times 6,573}{1}
\)
\(
v^2 = 13,146
\)
\(
v = \sqrt{13,146}
\)
\(
v \approx 3,62 \text{ m/s}
\)
Die Geschwindigkeit der Masse, wenn sie die Gleichgewichtslage passiert, beträgt also etwa \(3,62 \text{ m/s}\).
