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Berechnung der Geschwindigkeit der Elementarteilchen bei Erreichen der Entweichgeschwindigkeit
Um die Aufgabe zu lösen, brauchen wir zunächst einige Grundlagen und Formeln. Die Entweichgeschwindigkeit \( v_{\text{e}} \) eines Himmelskörpers kann mittels der Formel
\(
v_{\text{e}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}}
\)
berechnet werden, wobei \( G \) die Gravitationskonstante (\(6,674 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2\)), \( M \) die Masse des Himmelskörpers (in diesem Fall die Masse der Sonne, \(1,989 \times 10^{30} \, \text{kg}\)), und \( r \) der Radius vom Mittelpunkt des Himmelskörpers bis zum Punkt im Raum, wo die Entweichgeschwindigkeit erreicht wird, ist.
Die Rotationsgeschwindigkeit eines punktes an der Oberfläche der Sonnenhülle (angenommen als starr verbunden mit der Sonnenrotation) in einem Abstand \( r \) von der Rotationsachse wäre
\(
v = \omega r
\)
mit \( \omega \) als Winkelgeschwindigkeit der Sonne. Die Winkelgeschwindigkeit \( \omega \) lässt sich berechnen durch
\(
\omega = \frac{2\pi}{T}
\)
wobei \( T \) die Rotationsperiode der Sonne ist. Für die Sonne beträgt \( T \) ungefähr 24 Tage oder \(24 \cdot 86400 \, \text{s}\), da die Sonne nicht einheitlich rotiert (am Äquator schneller als an den Polen), nehmen wir einen Durchschnittswert, um eine Näherung zu erhalten.
Um den Abstand \( r \) zu finden, bei dem die Geschwindigkeit \( v \) der Rotation der Sonnenoberfläche gleich der Entweichgeschwindigkeit \( v_{\text{e}} \) ist, setzen wir die beiden Formeln gleich:
\(
\sqrt{\frac{2GM}{r}} = \omega r
\)
Umgestellt nach \( r \) ergibt:
\(
r = \sqrt[3]{\frac{2GM}{\omega^2}}
\)
Nun setzen wir die Werte ein:
\(
\omega = \frac{2\pi}{24 \cdot 86400} \approx 7,272 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}
\)
Einsetzen in die Formel für \( r \):
\(
r = \sqrt[3]{\frac{2 \cdot (6,674 \times 10^{-11}) \cdot (1,989 \times 10^{30})}{(7,272 \times 10^{-6})^2}}
\)
\(
r = \sqrt[3]{\frac{2.6606 \times 10^{20}}{5.289 \times 10^{-11}}} \approx \sqrt[3]{5.036 \times 10^{30}} \approx 1,71 \times 10^{10} \, \text{m}
\)
Daher würde die Geschwindigkeit der Elementarteilchen der Sonnenhülle die Entweichgeschwindigkeit erreichen in einem Abstand von etwa \( 17,1 \, \text{Mio. km} \) von der Rotationsachse, vorausgesetzt, die Hülle würde starr mit der Sonne rotieren.
