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Bewegungsgleichung für hochgeworfenen Stein
Bei der beschriebenen Aufgabe handelt es sich um eine Bewegung unter Einfluss der Erdbeschleunigung (\(g\)) ohne Berücksichtigung des Luftwiderstands. Die Masse des Steins spielt bei der Formulierung der Bewegungsgleichungen unter Vernachlässigung des Luftwiderstands keine direkte Rolle, solange wir uns auf die klassische Mechanik beschränken.
Eine Bewegungsgleichung zweiter Ordnung beschreibt hier die Beschleunigung der Bewegung direkt in Abhängigkeit von der Zeit oder dem Ort. Da die Beschleunigung bei einer vertikalen Wurfbewegung im Schwerefeld der Erde konstant ist (\(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)), ist die Bewegungsgleichung zweiter Ordnung in diesem Fall recht simpel.
Umformung in zwei Bewegungsgleichungen erster Ordnung
Die Aufteilung der Bewegungsgleichung zweiter Ordnung in zwei Gleichungen 1. Ordnung erfolgt meist, um eine Lösung mit bestimmten numerischen Verfahren zu erleichtern oder um die Systemdynamik besser zu verstehen. Man definiert typischerweise eine Gleichung für die Geschwindigkeit (\(v\)) und eine für die Position (\(z\)), wobei \(z\) die vertikale Position des Steins bezeichnet.
1. Gleichung (für Geschwindigkeit \(v\)):
Die erste Gleichung beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit, die durch die Beschleunigung gegeben ist. Da beim hochgeworfenen Stein die einzige Beschleunigung die Erdbeschleunigung \(g\) in negativer Richtung (entgegen der Wurfrichtung) ist, hat die Beschleunigung den Wert \(-g\). Die Änderungsrate der Geschwindigkeit \(\frac{dv}{dt}\) ist also gleich \(-g\).
\(
\frac{dv}{dt} = -g
\)
2. Gleichung (für Position \(z\)):
Die zweite Gleichung beschreibt die Änderung der Position, die direkt durch die Geschwindigkeit \(v\) gegeben ist. Die Änderungsrate der Position \(z\) in Bezug auf die Zeit \(t\) ist gleich der Geschwindigkeit \(v\).
\(
\frac{dz}{dt} = v
\)
Erklärung zur Frage der Dimension
Die Bewegungsgleichung zweiter Ordnung muss nicht implizit bedeuten, dass mehrere Dimensionen im Spiel sind. Vielmehr beschreibt "zweiter Ordnung" hier, dass die höchste Ableitung in der Gleichung die zweite Ableitung der Position nach der Zeit ist (\(\frac{d^2z}{dt^2}\)), was direkt der Beschleunigung entspricht. In diesem Fall beschreiben wir tatsächlich eine Bewegung entlang nur einer Dimension (der z-Achse), aber die Tatsache, dass wir die zweite zeitliche Ableitung der Position betrachten (die Beschleunigung), macht die Gleichung zu einer "zweiter Ordnung".
Zusammenfassend führen die oben formulierten Gleichungen erster Ordnung zur vollständigen Beschreibung der Bewegung eines vertikal hochgeworfenen Steins unter der Annahme, dass der Luftwiderstand vernachlässigt werden kann. Diese Beschreibungsweise ermöglicht eine einfache Integration beispielsweise zur Berechnung der Geschwindigkeit und Position des Steins zu jedem Zeitpunkt der Bewegung.
