Aufgabe:
Zeige, dass eine beliebige transversale Vektorwelle.
\(\vec{A}(\vec{r}, t) = \mathbb{R} \left\{ \vec{A}_0 \exp\left[i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)\right] \right\}, \quad \vec{A} \perp \vec{k}\)
elliptisch polarisiert ist, dass bedeutet das \(\vec{A}\) der Zeit an jedem Ort \(\vec{r} = \text{const}\) eine Ellipse in der Normalebene zu \(\vec{k}\) durchläuft.
Problem/Ansatz:
Um ehrlich zu sein weiß ich nicht wirklich wie ich bei dieser Aufgabe anfangen soll..
Also ich weiß , dass \(\vec{A}_0\) der komplexe Amplitudenvektor ist und \(\vec{A}_0 \perp \vec{k}\), also \(\vec{A}_0 \cdot \vec{k} = 0\) sei.
Allerdings habe ich ein bisschen Probleme damit die darstellung der komplexen Amplitude \(\vec{A}_0\) zu bestimmen.
Ich hätte am Anfang so angefangen:
\(\vec{A}_0 = \vec{A}_{0x} \hat{x} + \vec{A}_{0y} \hat{y}\)
\(\vec{A}_{0x} = |A_{0x}| e^{i\phi_x}, \quad \vec{A}_{0y} = |A_{0y}| e^{i\phi_y}.\)
Die zeit- und ortsabhängige Welle wäre also..:
\(\vec{A}(\vec{r}, t) = \text{Re} \left\{ \left(|A_{0x}| e^{i\phi_x} \hat{x} + |A_{0y}| e^{i\phi_y} \hat{y}\right) e^{i(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t)} \right\}.\)
Reelle Darstellung:
\(\vec{A}(\vec{r}, t) = |A_{0x}| \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t + \phi_x) \hat{x} + |A_{0y}| \cos(\vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t + \phi_y) \hat{y}.\)
Allerdings fühlt sich etwas irgendwie nicht richtig an... Denn sobald ich es Parametrisiere bzw. die Ellipsengleichung umforme, kommt bei mir dieses Ergebnis raus:
\(\frac{A_x^2}{|A_{0x}|^2} + \frac{A_y^2}{|A_{0y}|^2} + C A_x A_y = 1,\)
Aber es sieht in meinen Augen nicht wirklich richtig aus. Kann jemand helfen?
