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Teilaufgabe (a) - Maximale Beschleunigung \(a_{m}\) auf waagerechter Strecke
Zu berechnen ist die maximal mögliche Beschleunigung \(a_{m}\) des gesamten Zuges bestehend aus einer Lokomotive mit der Masse \(m_{\mathrm{L}}\) und \(N\) Wagen mit jeweils der Masse \(m_{\mathrm{W}}\). Die Haftreibungszahl, die zwischen den Rädern und den Schienen wirkt, ist \(\mu_{0}\).
1. Berechnung der Gesamtmasse des Zuges
Die Gesamtmasse des Zuges, \(m_{\mathrm{ges}}\), setzt sich zusammen aus der Masse der Lokomotive \(m_{\mathrm{L}}\) und der Gesamtmasse der \(N\) Wagen (jeweils \(m_{\mathrm{W}}\)).
\(m_{\mathrm{ges}} = m_{\mathrm{L}} + N \cdot m_{\mathrm{W}}\)
Einsetzen der gegebenen Werte:
- \(m_{\mathrm{L}} = 82.5 \, \mathrm{t} = 82.5 \cdot 10^3 \, \mathrm{kg} \)
- \(m_{\mathrm{W}} = 43 \, \mathrm{t} = 43 \cdot 10^3 \, \mathrm{kg} \)
- \(N = 8\)
\(m_{\mathrm{ges}} = 82.5 \cdot 10^3 \, \mathrm{kg} + 8 \cdot 43 \cdot 10^3 \, \mathrm{kg}\)
\(m_{\mathrm{ges}} = 82.5 \cdot 10^3 + 344 \cdot 10^3 \, \mathrm{kg}\)
\(m_{\mathrm{ges}} = 426.5 \cdot 10^3 \, \mathrm{kg}\)
2. Berechnung der Normalreaktionskraft
Die Normalreaktionskraft \(F_{\mathrm{N}}\) entspricht dem Gewicht des Zuges, das durch die Erdanziehungskraft auf die Schienen wirkt.
\(F_{\mathrm{N}} = m_{\mathrm{ges}} \cdot g\)
Mit \(g = 9.81\, \mathrm{m/s^{2}}\),
\(F_{\mathrm{N}} = 426.5 \cdot 10^3 \, \mathrm{kg} \cdot 9.81 \, \mathrm{m/s^{2}}\)
\(F_{\mathrm{N}} = 4183.965 \cdot 10^3 \, \mathrm{N}\)
3. Berechnung der maximalen Haftreibungskraft
Die maximale Haftreibungskraft \(F_{\mathrm{R,max}}\) ist das Produkt aus dem Haftreibungskoeffizienten \(\mu_{0}\) und der Normalreaktionskraft \(F_{\mathrm{N}}\).
\(F_{\mathrm{R,max}} = \mu_{0} \cdot F_{\mathrm{N}}\)
Mit \(\mu_{0} = 0.15\),
\(F_{\mathrm{R,max}} = 0.15 \cdot 4183.965 \cdot 10^3 \, \mathrm{N}\)
\(F_{\mathrm{R,max}} = 627.59475 \cdot 10^3 \, \mathrm{N}\)
4. Berechnung der maximalen Beschleunigung
Die maximale Beschleunigung \(a_{m}\) kann mit Hilfe des zweiten Newtonschen Gesetzes ermittelt werden, wobei die wirkende Kraft die maximale Haftreibungskraft ist:
\(a_{m} = \frac{F_{\mathrm{R,max}}}{m_{\mathrm{ges}}}\)
\(a_{m} = \frac{627.59475 \cdot 10^3}{426.5 \cdot 10^3} \, \mathrm{m/s^{2}}\)
\(a_{m} \approx 1.471 \, \mathrm{m/s^{2}}\)
Teilaufgabe (b) - Maximale Steigung \(\tan(\alpha)\)
Zu berechnen ist die maximale Steigung, die der Zug mit konstanter Geschwindigkeit überwinden kann. Die Steigung wird durch \(\tan(\alpha)\) ausgedrückt.
Die für die Steigung verantwortliche Kraft ist ebenfalls die maximale Haftreibungskraft, da diese es dem Zug ermöglicht, der Neigung zu widerstehen ohne zu gleiten.
Bei einer Steigung muss die maximale Haftreibungskraft \(F_{\mathrm{R,max}}\) die Komponente der Gewichtskraft entlang der Steigung, \(F_{\mathrm{slope}} = m_{\mathrm{ges}} \cdot g \cdot \sin(\alpha)\), ausgleichen, sodass der Zug mit konstanter Geschwindigkeit fahren kann.
Da der Zug jedoch mit konstanter Geschwindigkeit fährt und nicht beschleunigt, spielen hier auch andere Kräfte eine Rolle (z.B. Luftwiderstand, Rollwiderstand), die in dieser vereinfachten Berechnung jedoch vernachlässigt werden.
Für eine maximale Steigung ist die entscheidende Kraft die Komponente der Schwerkraft, die die Bewegung bergaufwärts behindert. Bei konstanter Geschwindigkeit und somit bei einem Kräftegleichgewicht können wir die Haftreibungskraft gleichsetzen mit der Komponente der Schwerkraft entlang der Steigung:
\(F_{\mathrm{R,max}} = m_{\mathrm{ges}} \cdot g \cdot \sin(\alpha)\)
Umstellen nach \(\sin(\alpha)\) und Einsetzen von \(F_{\mathrm{R,max}}\) ergibt:
\(\sin(\alpha) = \frac{F_{\mathrm{R,max}}}{m_{\mathrm{ges}} \cdot g}\)
Einsetzen der bekannten Werte liefert:
\(\sin(\alpha) = \frac{627.59475 \cdot 10^3}{426.5 \cdot 10^3 \cdot 9.81}\)
\(\sin(\alpha) = \frac{627.59475}{4183.965}\)
\(\sin(\alpha) \approx 0.15\)
Da \(\tan(\alpha) \approx \sin(\alpha)\) für kleine Winkel \(\alpha\), ergibt sich:
\(\tan(\alpha) \approx 0.15\)
Das bedeutet, dass der Zug eine maximale Steigung mit einem Tangens des Steigungswinkels von etwa \(0.15\) mit konstanter Geschwindigkeit überwinden kann.
