Wie kommt man auf folgende Formel?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\bar{V}=\frac{1}{2}\left(v_{0}+v_{u}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{g r} \\ \bar{V}=\frac{2 \pi r}{T} \Rightarrow T=\frac{2 \pi r}{\bar{V}}=\frac{4 \pi}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}\end{array} \)

Ich verstehe nicht, wie man von 2pi*r/v_mittel auf 4pi/(1+wurzel5)*wurzel(r/g) kommt.

Problem/Ansatz:

Bis jz habe ich folgendes:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} T= & \frac{2 \pi r}{\bar{V}}=\frac{2 \pi r}{\sqrt{g r}}=\frac{2 \pi r}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{r}}=\frac{2 \pi r \cdot \sqrt{r}}{\sqrt{g} \cdot r^{r}}=\frac{2 \pi \sqrt{r}}{\sqrt{g}}=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}= \\ & \frac{4 \pi}{2} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}\end{aligned} \)

Comments

Update:

Ich habe folgendes rausbekommen:

Text erkannt:

\( \begin{aligned} T= & \frac{2 \pi r}{\bar{V}}=\frac{2 \pi r}{\sqrt{g r}}=\frac{2 \pi r}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{r}}=\frac{2 \pi r \cdot \sqrt{r}}{\sqrt{g} \cdot r^{\prime}}=\frac{2 \pi \sqrt{r}}{\sqrt{g}}=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}= \\ & \frac{4 \pi}{2} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{4 \pi}{2} \cdot \frac{2}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{4 \pi}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}\end{aligned} \)

Stimmt das?

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\bar{V}=\frac{1}{2}\left(v_{u}+v_{a}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{g r} \\ \bar{V}=\frac{2 \pi r}{T} \Rightarrow T=\frac{2 \pi r}{\bar{v}}=\frac{4 \pi}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{4 \pi}{1+\sqrt{5}} \sqrt{\frac{1.2 m}{9.817 s^{2}}}=1.36 s\end{array} \)
\( \begin{array}{c}T=\frac{2 \pi r}{\bar{v}}=\frac{2 \pi r}{\sqrt{g r}}=\frac{2 \pi r}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{r}}=\frac{2 \pi r \cdot \sqrt{r}}{\sqrt{g} \cdot r}=\frac{2 \pi \sqrt{r}}{\sqrt{g}}=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}= \\ \frac{4 \pi}{2} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{4 \pi}{\chi} \cdot \frac{2}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{4 \pi}{1+\sqrt{g}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}\end{array} \)

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Nach dem, was oben steht, scheint mir das allerletzte Gleichheitszeichen falsch zu sein.

Richtig wäre:

$$T = 2 \pi \sqrt{\frac{r}{g}} = \frac{4 \pi}{1+\sqrt{5}}$$

$$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ ist der goldene Schnitt.

Die komplette Aufgabenstellung wäre hilfreich!

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Text erkannt:

1.3.4 Vertikale Kreisbewegungen
Die Achterbahn macht einen Looping, aber niemand fallt aus der Bahn. - Wie geht das? Welche Bedingungen müssen gelten, damit man den Looping schafft?
Ähnlich kann man einen Wassereimer vertikal im Kreis schleudern, ohne nass zu werden!
EXPERIMENT 1.3.9: Kreisender Wassereimer
Ein mit Wasser gefullter Eimer wird an einer Schnur so geschleudert, dass er eine vertikale Kreisbahn mit Radius \( r=1.2 \mathrm{~m} \) beschreibt. Was ist die maximale Umlaufzeit, bei der die Person gerade nicht nass wird?
a) Weshalb ist dies keine gleichformige Kreisbewegung? An welchen Orten ist die Bahngeschwindigkeit dennoch kurzzeitig praktisch konstant?
Die schwereraft, oben und unten
b) Ist die erforderliche Seilkraft oben \( \left(F_{\mathrm{S}, 0}\right) \) oder unten \( \left(F_{\mathrm{S}, u}\right) \) grösser? Finden Sie es heraus, indem Sie qualitativ die Seilkraft und die resultierende \( \mathrm{Kraft} \) in die Skizzen einzeichnen.
c) Zeigen Sie, dass die Bahngeschwindigkeiten \( v_{0}=\sqrt{g r} \) und \( v_{u}=\sqrt{5 g r} \) betragen müssen und berechnen Sie sie. (Hinweis: Nutzen Sie Kreisbahnbedingung und Energiesatz.)
\( \begin{array}{l} F_{r e s, 0}=F_{G} \Rightarrow m \frac{k_{0}^{2}}{r}=p h \Rightarrow v_{0}=\sqrt{g r} \\ E_{p o t, 0}+E_{\text {kimp }}=E_{\text {kin,u }} \Rightarrow m g 2 r+\frac{1}{2} h v_{0}^{2}=\frac{1}{2} m v_{u}^{2} \\ \Rightarrow v_{u}=\sqrt{v_{0}^{2}+4 g r}=\sqrt{5 g r} \end{array} \)
d) Wie lange dauert also höchstens ein Umlauf, wenn wir als mittlere Bahngeschwindigkeit näherungsweise den Mittelwert von \( v_{0} \) und \( v_{\mathrm{u}} \) annehmen?
\( \begin{array}{l} \bar{V}=\frac{1}{2}\left(u_{u}+v_{u}\right)=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\sqrt{g r} \\ \bar{V}=\frac{2 \pi r}{T} \Rightarrow T=\frac{2 \pi r}{\bar{v}}=\frac{4 \pi}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{4 \pi}{1+\sqrt{5}} \sqrt{\frac{1.2 \mathrm{~m}}{9.81 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}}}=1.36 \mathrm{~s} \end{array} \)
\( \begin{aligned} T= & \frac{2 \pi r}{\bar{v}}=\frac{2 \pi r}{\sqrt{g r}}=\frac{2 \pi r}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{r}}=\frac{2 \pi r \sqrt{r}}{\sqrt{g} \cdot r}=\frac{2 \pi \sqrt{r}}{\sqrt{g}}=2 \pi \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}= \\ & \frac{4 \pi}{2} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{4 \pi}{2} \cdot \frac{\pi}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}}=\frac{4 \pi}{1+\sqrt{5}} \cdot \sqrt{\frac{r}{g}} \end{aligned} \)

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Ah, ok.

In deiner ersten Zeile muss es nicht "= Wurzel(rg)" heißen, sondern "mal Wurzel(rg)".

Jetzt klar?

Answer 1

Ich verstehe nicht, wie man von 2pi*r/v_mittel auf 4pi/(1+wurzel5)*wurzel(r/g) kommt.

Ich auch nicht.

T = 2π * r / v_m = 2π * r / 0,5 (v_o + v_u) = (4π * r ) / (v_o + v_u)

oder

T = 2π * r / v_m = (2π * r) / ((g * r)^0,5) = 2π * ( r / g ) ^0,5

Ich habe folgendes rausbekommen:

Wie bist du denn von 4π/2 * (r / g)^0,5 auf 4π/2  *( 2 / (1+ 5^0,5)) * (r/g)0,5 gekommen?

Wo kommt so plötzlich der Faktor 2 / (1+ 5^0,5) her?

Wie lautet denn die komplette Aufgabe?

Vermutlich sollte es heißen: v_m = ((1 + 5^0,5) / 2 )) * ( g * r)^0,5 und nicht v_m = (1 + 5^0,5) / 2 =  ( g * r)^0,5

Das führt dann auch zu dem angegebenen Ergebnis.

v_o= (g * r)^0,5

v_u = (5 * g * r)^0,5

v_m = (v_o + v_u) / 2 = (g * r)^0,5 + (5 * g * r)^0,5 = ((1 + 5^0,5) / 2 )) * ( g * r)^0,5