Bestimmen Sie daraus seine Maximalgeschwindigkeit bei diesem Sprung.

Question

Aufgabe:

Im Jahre 1987 sprang A. J. Hacket mit einem sehr belastbaren Gummiseil an den Füssen vom Eiffelturm. Damals war das eine kleine Sensation und Anlass für eine Zeitungsmeldung - inzwi- schen wurde daraus auch Dank seiner Mithilfe eine Trendsport- art. Wir wollen einige Angaben in dem Text aus physikalischer Sicht überprüfen. Vereinfachende Annahmen:
• A. J. Hackets Masse betrage m = 70 kg.
• Seilmasse und Luftwiderstand seien vernachlässigbar.
• Für das Seil gelte das Hooke'sche Gesetz.
Aus der Starthöhe h₁ = 115m, der Gleichgewichtslage bei h2 25 m und der minimalen Höhe hз = 2.5 m lässt sich die Feder- konstante des Gummiseils mithilfe von Hooke'schem Gesetz und Energieerhaltung bestimmen zu D = 240 N/m.

Bis zur der Höhe h₂ beschleunigte Hacket abwärts. Darunter war die Federkraft grösser als die Gewichtskraft auf ihn, sodass er nach oben beschleunigte. Bestimmen Sie daraus seine Maximalgeschwindigkeit bei diesem Sprung.

Answer 1

verstehe ich das richtig: der Sprung fand im freien Fall von h₁ nach h₂ statt. Dann wirkte das Seil als Feder und er wurde bei h₃ auf v=0 m/s abgebremst.

Dann errechnet sich v_max²=2·g·h; wobei hier h=h₂-h₁=90 m ist; vmax ist dann ≈42 m/s.

Comments

meine Antwort ist nicht ganz korrekt. Den Sprung habe ich simuliert und in kleinen Schritten nachvollzogen. Dann wurde klar, dass als Gleichgewichtslage die Stelle gemeint ist, an der die Beschleunigung 0 ist; potentielle -, kinetische - und Federenergie sind da sehr unterschiedlich. Bei h3 ist die Differenz der potentiellen Energie in Federenergie umgewandelt. Damit kann die Federlänge ermittelt werden.

E_pot(1-3)=E_Feder

m·g·(115m-2,5m)=1/2·D·s²

s=25,373 m

s hatten wir bisher nicht als Größe, das ist die Federlänge des Seils, das Seil ist selbst 115m-2,5m-s=87,127 m lang. Über diese Strecke findet auch der freie Fall statt. Dann wirkt das Seil als Feder. Wenn die Federkraft die Gewichstkraft erreicht, ist die Beschleunigung 0. Die Gewichtskraft ist m·g; die Federkraft ist D·Δs. Damit ergibt sich  Δs=2,861 m.

Also:

Von h1=115m bis h1-Seilänge=27,873 m findet der freie Fall statt

auf der folgenden Strecke Δs=2,861 m nimmt die Federkraft des Seils einen Wert an, der die Beschleunigung umkehrt. Hier errechnet sich eine Höhe von 25,012 m. In der Aufgabe werden hier 25 m angegben.

Die potentielle Energie bei h1 ist hier bei h₂ umgewandelt in aktuelle potentielle Energie, Federenergie und kinetische Energie. Der Wert der kinetischen Energie kann aus den bekannten anderen Energien berechnet werden. Das kann nach Geschwindigkeit umgestellt werden. Ich komme auf 41,683 m/s.

Die Genauigkeit habe ich übertrieben groß dargestellt um die kleinen Differenzen zu zeigen. Für g habe ich 9,81 m/s² angesetzt.

Insgesamt eine knifflige Aufgabe.

Answer 2

Hallo

die maximale Geschw, hat er bei h2 v=0 bei 2,5m  also Federenergie D/2s^2, Potentielle Energie bei 2,5m niedriger als bei 25m also muss man die davon abziehen und hat dann die kinetische Energie.

lul

Answer 3

Um die Maximalgeschwindigkeit von A. J. Hacket während des Sprungs zu bestimmen, müssen wir zuerst die potenzielle Energie am Startpunkt des Sprungs berechnen und sie dann in kinetische Energie umwandeln, um die Geschwindigkeit zu erhalten.

Die potenzielle Energie des Springers am Startpunkt ist:

Ep₁ = m * g * h₁

wobei m die Masse des Springers, g die Erdbeschleunigung und h₁ die Start- oder Ausgangshöhe ist.

Die potenzielle Energie am tiefsten Punkt (Höhe h₃) des Sprungs ist:

Ep₃ = m * g * h₃

Wenn der Springer seine Gleichgewichtslage erreicht, ist die potenzielle Energie gleich der elastischen potenziellen Energie des Gummiseils:

Ep₂ = (1/2) * D * (h₁ - h₂)^2

Da die Luftreibung vernachlässigt wird, ist die mechanische Energie des Systems erhalten:

Ep₁ + Ek₁ = Ep₂ + Ek₂ = Ep₃

wobei Ek die kinetische Energie des Springers ist.

Am tiefsten Punkt des Sprungs ist die kinetische Energie gleich Null (Ek₃ = 0), da die Geschwindigkeit des Springers zu diesem Zeitpunkt Null ist. Daher ist die potenzielle Energie am Startpunkt gleich der potenziellen und elastischen potenziellen Energie am Gleichgewichtspunkt:

Ep₁ = Ep₂

Somit haben wir:

m * g * h₁ = (1/2) * D * (h₁ - h₂)^2

Dies kann umgestellt werden zu:

h₁ = h₂ + sqrt(2 * m * g / D)

Mit den gegebenen Werten erhalten wir:

h₁ = 25m + sqrt(2 * 70 kg * 9.81 m/s^2 / 240 N/m) = 54.4 m

Dies ist die maximale Höhe, die der Springer erreicht.

Die maximale Geschwindigkeit erreicht der Springer, wenn er die Gleichgewichtslage erreicht hat, da die elastische potenzielle Energie des Gummiseils dann vollständig in kinetische Energie des Springers umgewandelt wurde. Zu diesem Zeitpunkt ist die potenzielle Energie des Systems am geringsten, d.h. die gesamte Energie ist in kinetische Energie umgewandelt worden.

Die kinetische Energie des Springers am höchsten Punkt (Höhe h₂) des Sprungs ist:

Ek₂ = (1/2) * m * v²

wobei v die Geschwindigkeit des Springers an dieser Stelle ist.

Setzen wir die potenzielle Energie am Startpunkt gleich der kinetischen Energie am höchsten Punkt des Sprungs ein, erhalten wir:

m * g * h₁ = (1/2) * m * v²

Durch Umstellen nach v erhalten wir:

v = sqrt(2 * g * h₁) = sqrt(2 * 9.81 m/s² * 54.4 m) = 23.3 m/s

Daher beträgt die maximale Geschwindigkeit von A. J. Hacket während des Sprungs etwa 23.3 m/s oder etwa 84 km/h