Zunächst müssen wir die Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises bestimmen, um den Dämpfungsgrad zu berechnen. Diese ergibt sich aus der Verkettung der
Einzelübertragungsfunktionen:
\( G(p)=\frac{F_{a}(p)}{1+F_{r}(p) \cdot F_{s}(p)} \)
Dabei ist Fr(p) die Ūbertragungsfunktion des Regelkreises und Fs(p) die
Übertragungsfunktion des Stellglieds. Setzen wir die gegebenen Funktionen ein, ergibt sich:
\( G(p)=\frac{\frac{K I}{p}}{1+\frac{1}{T_{1} p+1}, \frac{K I}{p}}=\frac{K I}{p\left(T_{1} p+K I+1\right)} \)
Nun können wir den Dämpfungsgrad D berechnen. Dazu benötigen wir die Wurzel des
Betragsquadrats der Pole der Übertragungsfunktion \( G(p) \), die wir mit der Formel für den
Dämpfungsgrad D berechnen können:
\( D=\frac{-\mathbb{R} e(s)}{\sqrt{\operatorname{Re}(s)^{2}+\operatorname{lm}(s)^{2}}} \)
Hierbei ist s der komplexe Pol, der am nächsten zur imaginären Achse liegt. Da die Pole der Übertragungsfunktion \( G(p) \) auf der negativen reellen Achse liegen, ist der Pol mit dem größten negativen Realteil der, der am nächsten zur imaginären Achse liegt. Da G(p) einen Pol ersten Grades hat, ist dieser Pol bei:
\( p=-\frac{1}{2 T_{1}}+\sqrt{\left(\frac{1}{2 T_{1}}\right)^{2}-\frac{K I}{T_{1}}} \)
Setzen wir \( \mathrm{T} 1=2 \mathrm{~s} \) ein, ergibt sich:
\( p=-\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{16}-\frac{K I}{2}} \)
Um den Dämpfungsgrad auf 0,707 zu setzen, müssen wir die Konstante KI so wählen, dass der Realteil des Pols \( -0,5 \) beträgt. Wir setzen also den Realteil des Pols gleich \( -0,5 \) und lösen nach Kl auf:
\( \begin{array}{l} -\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{16}-\frac{K I}{2}}=-0,5 \\ \sqrt{\frac{1}{16}-\frac{K I}{2}}=-0,25 \\ \frac{1}{16}-\frac{K I}{2}=0,0625 \\ -\frac{K I}{2}=-0,0625+\frac{1}{16} \\ K I=0,5-\frac{1}{32} \\ K I=0,46875 \end{array} \)
Also muss Kl etwa 0,46875 sein, damit der Dämpfungsgrad \( D=0,707 \) beträgt.
