Berechnen Sie das Potential ϕ(x, y, z) außerhalb der Kugel

Question

Hallo mal wieder,

Ich habe hier wieder eine Aufgabe, bei der ich nicht festhänge:

Betrachten Sie eine homogen geladene Kugeloberfläche mit Gesamtladung Q beschrieben durch
x² + y² + z² = R²

a) Berechnen Sie das Potential ϕ(x, y, z) außerhalb der Kugel. Verwenden Sie die Methode
der Greenschen Funktionen und beachten Sie folgende Hinweise:

Aufgrund der Rotationssymmetrie ist das Potential ausschließlich von r = |x| abhängig. Demnach ist es
ausreichend, zuerst das Potential auf der z-Achse zu bestimmen und es dann zu verallgemeinern.

b) Berechnen Sie das elektrische Feld für das Potential aus a)

Zu meinen Ansätzen:

a) Hier habe ich noch Probleme beim Ansatz bzw. bei der Formulierung der Greenschen Funktion, da eine Formel für das Potential im Integral ja von eben dieser abhängt

b) Wenn man das Potential von a) hat, hätte ich das el. Feld mit der Formel: -grad(Potential) = E berechnet (Die a ist hier auch eher der Knackpunkt bei mir, weil das el. Feld zu berechnen ja aus ihr folgt)

Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir bei der Aufgabe weiterhelfen könntet, weil ich wirklich keinen Plan habe, wie ich die Lösen soll.

Answer 1

Hallo

nach Maxwell  hat man $${\displaystyle \Delta \varphi =-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho (\mathbf {r} )},$$

eine dazu gehörige Greensche Funktion ist

$$G_{\Delta }({\mathbf {r}})=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{|{\mathbf {r}}|}},$$

Gruß lul

Comments

Erstmal danke für die Antwort, zumindest für das Integral hat mir das sehr weitergeholfen. Eine Frage bleibt aber immer noch.

Die Greensche Funktion gilt ja nur dür die allgemeine Variante des Potentials, oder ?

Dem Hinweis folgend, habe ich das Potential von z ausgerechnet (mit dem Integral über die Gesamtladung) und Q/8*PI*R^2 rausbekommen.

Muss ich für die Verallgemeinerung jetzt dieses Potential mit der Greenschen Funktion erweitern und das Integral ausrechnen ?

Grüße Simon