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Berechnung der Schwingungsdauer
Die Schwingungsdauer \(T\) eines Federpendels wird mit der Formel
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{D}}
\)
berechnet, wobei \(m\) die Masse des Pendelkörpers und \(D\) die Federkonstante ist.
Gegeben:
- Federkonstante \(D = 2 \, \text{N/m}\)
- Masse \(m = 0,55 \, \text{kg}\)
Einsetzen der gegebenen Werte gibt uns:
\(
T = 2\pi \sqrt{\frac{0,55}{2}} = 2\pi \sqrt{0,275} = 2\pi \times 0,5244
\)
Das Resultat ist:
\(
T \approx 2\pi \times 0,5244 \approx 3,29 \, \text{s}
\)
Die Schwingungsdauer des Federpendels ist also ungefähr 3,29 Sekunden.
Veränderung der Periodendauer bei Massenänderung
a) Verdopplung der Masse:
Bei Verdopplung der Masse wird \(m = 2 \times 0,55 \, \text{kg} = 1,1 \, \text{kg}\).
Die neue Schwingungsdauer \(T'\) wird:
\(
T' = 2\pi \sqrt{\frac{1,1}{2}}
\)
\(
= 2\pi \sqrt{0,55}
\)
\(
= 2\pi \times 0,7416
\)
\(
\approx 4,66 \, \text{s}
\)
b) Verdreifachung der Masse:
Bei Verdreifachung der Masse wird \(m = 3 \times 0,55 \, \text{kg} = 1,65 \, \text{kg}\).
Die neue Schwingungsdauer \(T''\) wird:
\(
T'' = 2\pi \sqrt{\frac{1,65}{2}}
\)
\(
= 2\pi \sqrt{0,825}
\)
\(
= 2\pi \times 0,9083
\)
\(
\approx 5,71 \, \text{s}
\)
Zusammenfassung der Ergebnisse:
- Die ursprüngliche Schwingungsdauer ist ca. 3,29 Sekunden.
- Bei Verdopplung der Masse steigt die Schwingungsdauer auf ca. 4,66 Sekunden.
- Bei Verdreifachung der Masse steigt die Schwingungsdauer weiter auf ca. 5,71 Sekunden.
Daraus folgt, dass die Schwingungsdauer mit zunehmender Masse ansteigt. Die Beziehung ist dabei durch die Quadratwurzel der Masse bestimmt, was erklärt, warum die Zunahme der Schwingungsdauer nicht linear ist.
