Antwort mit KI erzeugt
1. Beschreibung der Bewegung der Elektronen von der Kathode zur Anode
Die Bewegung der Elektronen von der Kathode zur Anode erfolgt durch ein elektrisches Feld, das durch das Anlegen der Beschleunigungsspannung \(U_B\) zwischen Kathode und Anode erzeugt wird. Dieses Feld erteilt den Elektronen, die anfangs nahe der Kathode praktisch in Ruhe sind, eine Beschleunigung in Richtung der Anode. Die Elektronenbewegung kann als geradlinig betrachtet werden, sofern keine externen Felder außer dem beschleunigenden elektrischen Feld vorliegen. Die Beschleunigung der Elektronen resultiert in einer kinetischen Energie, die der elektrischen Energie entspricht, die den Elektronen durch das Feld zugeführt wird. Da relativistische Effekte vernachlässigt werden sollen, bedeutet dies, dass die Geschwindigkeit der Elektronen beim Passieren der Anode direkt mit der angelegten Beschleunigungsspannung \(U_B\) zusammenhängt.
2. Geschwindigkeit der Elektronen beim Passieren der Anode für die Beschleunigungsspannung \(U_{B}=2500 \mathrm{~V}\)
Um die Geschwindigkeit der Elektronen zu berechnen, nutzen wir die Gleichung für die kinetische Energie, die in diesem Fall der elektrischen Energie entspricht, welche von der Beschleunigungsspannung verursacht wird.
\( K.E = e \cdot U_B = \frac{1}{2} m_e v^2 \)
Umformen nach \(v\) ergibt:
\( v = \sqrt{\frac{2 e U_B}{m_e}} \)
Wobei \(e = 1.602 \times 10^{-19} C\) (Elementarladung) und \(m_e = 9.109 \times 10^{-31} kg\) (Masse des Elektrons). Für \(U_B = 2500 V\), gilt:
\( v = \sqrt{\frac{2 \times 1.602 \times 10^{-19} \, C \times 2500 \, V}{9.109 \times 10^{-31} \, kg}} \)
\( v = \sqrt{\frac{2 \times 1.602 \times 10^{-19} \, C \times 2500}{9.109 \times 10^{-31} \, kg}} \)
\( v \approx \sqrt{\frac{8.01 \times 10^{-16} \, J}{9.109 \times 10^{-31} \, kg}} \)
\( v \approx \sqrt{8.79 \times 10^{14} \, \frac{m^2}{s^2}} \)
\( v \approx 2.97 \times 10^{7} \, \frac{m}{s} \)
Die Geschwindigkeit der Elektronen beim Passieren der Anode für \(U_B = 2500 V\) ist also etwa \(2.97 \times 10^{7} \, \text{m/s}\).
3. \( r(\frac{1}{\sqrt{U_{B}}}) \)-Diagramm darstellen
Aufgrund des Fehlens eines realen Diagramms folgt hier eine generelle Beschreibung, wie man die Messwerte graphisch darstellt: Um ein \( r(\frac{1}{\sqrt{U_{B}}}) \)-Diagramm zu erstellen, berechnet man zuerst für jeden Wert von \( U_B \) den Ausdruck \( \frac{1}{\sqrt{U_{B}}}\) und trägt diese dann auf der x-Achse auf. Die zugehörigen Werte von \( r \) werden an der y-Achse aufgetragen. Diese Darstellung ermöglicht es, die Beziehung zwischen dem Radius und der Beschleunigungsspannung zu visualisieren und auf ihre Abhängigkeit zu untersuchen.
4. Analogie zwischen Lichtbeugung am Gitter und Elektronenbeugung
Die de-Broglie-Wellenlänge \( \lambda \) eines Elektrons steht in direkter Beziehung zur Beugung ähnlich wie die Wellenlänge von Licht beim Passieren eines optischen Gitters. Für Elektronen wird \( \lambda \) durch die Gleichung \( \lambda = \frac{h}{p} \) gegeben, wobei \( p = m_e v \) der Impuls des Elektrons ist. Da \( v = \sqrt{\frac{2 e U_B}{m_e}} \) für Elektronen unter einer Beschleunigungsspannung \( U_B \), ersetzen wir \( v \) und erhalten für den Impuls \( p \) eine Abhängigkeit von \( U_B \). Diese Beziehung führt zur Abhängigkeit von \( \lambda \) von \( U_B \), und die Beugungsmuster können dann analog zu Lichtbeugungsmustern behandelt werden.
5. Ermittlung der Konstante \( k \) und damit der Gitterkonstante \( g \)
Die Konstante \( k \) kann experimentell bestimmt werden, indem man die Steigung der Geraden im \( r(\frac{1}{\sqrt{U_{B}}}) \)-Diagramm ermittelt. Da \( k = \frac{h \cdot a}{g \cdot \sqrt{2 m_{e} \cdot e}} \), kann man nach der Bestimmung von \( k \) und unter Verwendung bekannter Werte für \( h \), \( a \), \( m_e \) und \( e \) die Gitterkonstante \( g \) berechnen.
Mathematisch gesprochen, wenn die Steigung \( k \) durch lineare Regression oder durch direkte Messung aus dem Diagramm ermittelt wird, lässt sich \( g \) durch Umstellen der Gleichung für \( k \) ermitteln:
\( g = \frac{h \cdot a}{k \cdot \sqrt{2 m_{e} \cdot e}} \)
Durch direktes Einsetzen der Werte für \( h \), \( a \), \( m_e \), \( e \) und des experimentell bestimmten Wertes für \( k \), kann \( g \) berechnet werden.
