Antwort mit KI erzeugt
Eichtransformation für \(B_{\mu \nu}\)
Betrachten wir zuerst, was eine Eichtransformation ist. Eine Eichtransformation ändert die Potentiale in einer Weise, die die beobachtbaren Größen, wie Feldstärken, unverändert lässt. Für das Vektoreichfeld \(A_{\mu}\) haben wir gelernt, dass es unter der Eichtransformation
\(
A_{\mu} \rightarrow A_{\mu}+\partial_{\mu} \chi
\)
invariant ist, weil der Feldstärketensor \(F_{\mu \nu}\) sich nicht ändert. Ähnlich suchen wir eine Transformation für \(B_{\mu \nu}\), die den Tensor \(H_{\mu \nu \rho}\) unverändert lässt. Da \(B_{\mu \nu}\) ein antisymmetrischer Tensor zweiter Stufe ist, suchen wir eine Transformation der Form
\(
B_{\mu \nu} \rightarrow B_{\mu \nu} + \partial_{[\mu}\Lambda_{\nu]}
\)
wobei \(\Lambda_{\nu}\) ein Vektorfeld ist. Jedoch ist diese Annahme nicht vollständig korrekt für den Tensor \(B_{\mu \nu}\), da \(B_{\mu \nu}\) antisymmetrisch ist und eine Eichtransformation für \(B_{\mu \nu}\) typischerweise die Form
\(
B_{\mu \nu} \rightarrow B_{\mu \nu} + \partial_{\mu}\Lambda_{\nu} - \partial_{\nu}\Lambda_{\mu}
\)
annehmen würde, was zu \(B_{\mu \nu} \rightarrow B_{\mu \nu} + 2\partial_{[\mu}\Lambda_{\nu]}\) vereinfacht werden kann. Die korrekte Form der Eichtransformation, die den Tensor \(H_{\mu \nu \rho}\) invariant lässt, ist jedoch
\(
B_{\mu \nu} \rightarrow B_{\mu \nu} + \partial_{\mu}\Lambda_{\nu} - \partial_{\nu}\Lambda_{\mu}
\)
Das bedeutet, wir suchen eine Transformation, in der \(\Lambda_{\nu}\) durch ein beliebiges Vektorfeld ersetzt wird, das die Form eines Gradienten annimmt, aber um die Antisymmetrie zu erhalten, subtrahieren wir die umgekehrte Reihenfolge der Indizes.
Für die Invarianz von \(H_{\mu \nu \rho}\) betrachten wir
\(
H_{\mu \nu \rho} = 6 \partial_{[\mu} B_{\nu \rho]}
\)
Einführen der Eichtransformation liefert keinen zusätzlichen Beitrag zum Feldstärketensor \(H_{\mu \nu \rho}\), weil die Divergenz eines Gradienten (wie sie in der Transformation vorkommt) mathematisch wegkürzt durch die antisymmetrische Eigenschaft der Indizierung und die Linearität der partiellen Ableitungen. Die korrekte und allgemeinere Form der Eichtransformation, die \(H_{\mu \nu \rho}\) invariant lässt, ist somit
\(
B_{\mu \nu} \rightarrow B_{\mu \nu} + \partial_{\mu}\Lambda_{\nu} - \partial_{\nu}\Lambda_{\mu}
\)
wobei \(\Lambda_{\nu}\) ein beliebiges Vektorfeld ist.
Kopplung von \(B_{\mu \nu}\) zu einem Objekt
Ein Objekt, das auf natürliche Weise an \(B_{\mu \nu}\) koppelt, ähnlich wie ein Teilchen an \(A_{\mu}\), wäre eine eindimensionale Linie, jedoch in diesem Fall ist es sinnvoller, von einer Erweiterung zu sprechen, die eher zweidimensional ist – eine "Weltfläche" im Gegensatz zu einer Weltlinie. Dieses Objekt ist in der Physik bekannt als eine "String" oder eindimensionale Brane. Für eine solche Kopplung betrachten wir einen analogen Weg, nur dass statt einem Integral über eine Linie ein Flächenintegral betrachtet wird:
\(
q \int \limits_{\Sigma} B_{\mu \nu} \mathrm{d}x^{\mu} \wedge \mathrm{d}x^{\nu}
\)
Hier ist \(q\) die Ladung des Strings, \(\Sigma\) die Weltfläche, über die integriert wird, und \(\mathrm{d}x^{\mu} \wedge \mathrm{d}x^{\nu}\) das antisymmetrisierte Differential der Flächenkoordinaten, was die zweidimensionale Analogie zur Weltlinie ausdrückt.
Diese Art der Kopplung reflektiert, wie String-ähnliche Objekte oder höherdimensionale Branes an höherstufige Eichfelder koppeln, wobei das Eichfeld hier durch den antisymmetrischen Tensor \(B_{\mu \nu}\) ausgedrückt ist. Dies entspricht der natürlichen Verallgemeinerung der Kopplungspunkte zwischen Teilchen und Feldern auf höherdimensionale Objekte und Felder in der theoretischen Physik.
